Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2020

Se considera la función

$f(x)=\{\begin{array}{ll}2+{\displaystyle \frac{a}{x-1}}& \text{si }x<0\\ a+b{e}^x& \text{si }x\ge 0\end{array}$

a) Calcule los valores $a$ y $b$ para que la función sea continua y derivable en su dominio. (1,25 puntos)

b) Para $a=2$ y $b=-2$, estudie la monotonía de la función $f$ y calcule sus extremos relativos. (0,75 puntos)

c) Para $a=2$ y $b=-2$, determine las ecuaciones de las asíntotas de $f$, si existen. (0,5 puntos)

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{valores}}\mathit{a}\mathbf{\text{y}}\mathit{b}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{continua}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{derivable}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{dominio.}}\mathbf{\text{(1,25}}\mathbf{\text{puntos)}}$

La primera rama es una función racional cuyo único punto problemático es $x=1$, que no pertenece a $(-\mathrm{\infty },0)$; la segunda es una exponencial. Ambas son, pues, continuas y derivables donde se aplican, y el único punto que hay que estudiar es $x=0$.

Para que sea continua en $x=0$ los límites laterales deben coincidir con el valor de la función.

${\lim }_{x\to 0^{-}}f(x)=2+{\displaystyle \frac{a}{0-1}}=2-a{\lim }_{x\to 0^{+}}f(x)=a+b{e}^0=a+b$

$2-a=a+b\Rightarrow 2a+b=2$

Para la derivabilidad calculamos las derivadas laterales.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\{\begin{array}{ll}-{\displaystyle \frac{a}{(x-1{)}^2}}& \text{si }x<0\\ b{e}^x& \text{si }x>0\end{array}$

$f^{\mathrm{\prime }}(0^{-})=-{\displaystyle \frac{a}{(0-1{)}^2}}=-a{f}^{\mathrm{\prime }}(0^{+})=b\Rightarrow -a=b$

Reunimos las dos condiciones en un sistema y sustituimos $b=-a$ en la primera.

$2a-a=2\Rightarrow a=2\Rightarrow b=-2$

La función es continua y derivable en su dominio cuando $a=2$ y $b=-2$.



Con esos valores la función es

$f(x)=\{\begin{array}{ll}2+{\displaystyle \frac{2}{x-1}}& \text{si }x<0\\ 2-2e^x& \text{si }x\ge 0\end{array}$

Derivamos cada rama.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\{\begin{array}{ll}-{\displaystyle \frac{2}{(x-1{)}^2}}& \text{si }x<0\\ -2e^x& \text{si }x>0\end{array}$

En la primera rama el numerador es $-2$ y el denominador un cuadrado, siempre positivo, así que la derivada es negativa. En la segunda, $e^x>0$ para todo $x$, luego $-2e^x<0$.

La derivada es negativa en todo el dominio y no se anula en ningún punto: la función decrece en todo $\mathbb{R}$ y no tiene extremos relativos.



Asíntotas verticales. El único valor que anularía un denominador es $x=1$, pero en $x=1$ la función viene dada por la rama $2-2e^x$, que está definida y es continua. No hay asíntotas verticales.

Asíntotas horizontales. Estudiamos el límite en cada extremo del dominio.

${\lim }_{x\to -\mathrm{\infty }}f(x)={\lim }_{x\to -\mathrm{\infty }}(2+{\displaystyle \frac{2}{x-1}})=2+0=2$

${\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}f(x)={\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}(2-2e^x)=-\mathrm{\infty }$

La recta $y=2$ es asíntota horizontal cuando $x$ tiende a menos infinito. Por la derecha no hay asíntota horizontal.

Asíntota oblicua por la derecha $y=mx+n$:

$m={\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{2-2e^x}{x}}=-\mathrm{\infty }$

Como la pendiente no es un número real, tampoco hay asíntota oblicua.



La única asíntota de $f$ es la horizontal $y=2$ cuando $x\to -\mathrm{\infty }$.