Ejercicio resuelto de Diagramas de Venn · Matemáticas CCSS · 2021

En una comunidad de vecinos, el 90 % de sus miembros tiene vehículo propio, el 40 % hace uso del transporte público y un 3 % ni tiene vehículo propio ni usa el transporte público. Se elige al azar un miembro de esa comunidad.

a) Calcule la probabilidad de que tenga vehículo propio o use el transporte público. (1 punto)

b) Calcule la probabilidad de que use el transporte público y no tenga vehículo propio. (0,5 puntos)

c) Calcule la probabilidad de que use el transporte público, sabiendo que no tiene vehículo propio. (1 punto)

$\textbf{a) Calcule la probabilidad de que tenga vehículo propio o use el transporte público. (1 punto)}$

Nombramos los sucesos:

$V\equiv$ el vecino tiene vehículo propio,
$T\equiv$ el vecino usa el transporte público.

Del enunciado, $P(V)=0{,}90$, $P(T)=0{,}40$ y $P(\overline{V}\cap\overline{T})=0{,}03$.

Tener vehículo propio o usar el transporte público es el suceso $V\cup T$, cuyo contrario es no hacer ninguna de las dos cosas.

$P(V\cup T)=1-P(\overline{V}\cap\overline{T})=1-0{,}03=0{,}97$

La probabilidad de que tenga vehículo propio o use el transporte público es $0{,}97$.

$\textbf{b) Calcule la probabilidad de que use el transporte público y no tenga vehículo propio. (0,5 puntos)}$

Necesitamos primero la probabilidad de la intersección, que se despeja de la fórmula de la unión.

$P(V\cup T)=P(V)+P(T)-P(V\cap T) \Rightarrow 0{,}97=0{,}90+0{,}40-P(V\cap T)$

$P(V\cap T)=1{,}30-0{,}97=0{,}33$

Con eso queda repartido todo el espacio muestral en cuatro zonas.



Usar el transporte público y no tener vehículo propio es la parte de $T$ que queda fuera de $V$.

$P(T\cap\overline{V})=P(T)-P(V\cap T)=0{,}40-0{,}33=0{,}07$

La probabilidad pedida es $0{,}07$.

$\textbf{c) Calcule la probabilidad de que use el transporte público, sabiendo que no tiene vehículo propio. (1 punto)}$

Es una probabilidad condicionada. El numerador es el resultado del apartado anterior.

$P(T/\overline{V})=\dfrac{P(T\cap\overline{V})}{P(\overline{V})} =\dfrac{0{,}07}{1-0{,}90} =\dfrac{0{,}07}{0{,}10}=0{,}7$

Sabiendo que no tiene vehículo propio, la probabilidad de que use el transporte público es $0{,}7$.