Ejercicio resuelto de Diagramas de Venn · Matemáticas CCSS · 2022

Sean $A$ y $B$ dos sucesos del mismo espacio muestral tales que:

$P(A\cup B)=\dfrac{3}{7}, \qquad P(A^{C})=\dfrac{5}{7}, \qquad P(B^{C})=\dfrac{2}{3}$

a) ¿Son $A$ y $B$ independientes? ¿Son $A$ y $B$ incompatibles? (1 punto)

b) Calcule $P(A^{C}\cap B^{C})$. (0,75 puntos)

c) Calcule $P(B/A^{C})$. (0,75 puntos)

$\textbf{a) ¿Son } \boldsymbol{A}\textbf{ y } \boldsymbol{B}\textbf{ independientes? ¿Son } \boldsymbol{A}\textbf{ y } \boldsymbol{B}\textbf{ incompatibles? (1 punto)}$

Partimos de las probabilidades de los sucesos contrarios que da el enunciado.

$P(A)=1-P(A^{C})=1-\dfrac{5}{7}=\dfrac{2}{7} \qquad P(B)=1-P(B^{C})=1-\dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{3}$

Despejamos la probabilidad de la intersección de la fórmula de la probabilidad de la unión.

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B) \Rightarrow \dfrac{3}{7}=\dfrac{2}{7}+\dfrac{1}{3}-P(A\cap B)$

$P(A\cap B)=\dfrac{2}{7}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{3}{7} =\dfrac{6+7-9}{21}=\dfrac{4}{21}$

Con estos datos queda repartido todo el espacio muestral.



Dos sucesos son independientes si la probabilidad de la intersección es el producto de las probabilidades.

$P(A)\cdot P(B)=\dfrac{2}{7}\cdot\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{21} \qquad P(A\cap B)=\dfrac{4}{21}$

Como $\dfrac{2}{21}\neq\dfrac{4}{21}$, los sucesos $A$ y $B$ no son independientes.

Dos sucesos son incompatibles si su intersección es el suceso imposible. Como $P(A\cap B)=\dfrac{4}{21}\neq 0$, tampoco son incompatibles.

$\textbf{b) Calcule } \boldsymbol{P(A^{C}\cap B^{C})}\textbf{. (0,75 puntos)}$

Aplicamos las leyes de Morgan.

$P(A^{C}\cap B^{C})=P\left(\overline{A\cup B}\right)=1-P(A\cup B) =1-\dfrac{3}{7}=\dfrac{4}{7}$

$\textbf{c) Calcule } \boldsymbol{P(B/A^{C})}\textbf{. (0,75 puntos)}$

Aplicamos la definición de probabilidad condicionada. El numerador es la parte de $B$ que queda fuera de $A$.

$P(B\cap A^{C})=P(B)-P(A\cap B)=\dfrac{1}{3}-\dfrac{4}{21} =\dfrac{7-4}{21}=\dfrac{3}{21}=\dfrac{1}{7}$

$P(B/A^{C})=\dfrac{P(B\cap A^{C})}{P(A^{C})} =\dfrac{\dfrac{1}{7}}{\dfrac{5}{7}}=\dfrac{1}{5}=0{,}2$