Ejercicio resuelto de Diagramas de Venn · Matemáticas CCSS · 2022

En un estudio realizado en una sucursal bancaria se ha determinado que el 70 % de los créditos concedidos son hipotecarios y el 25 % de los créditos superan los 200 000 €. El 20 % de los créditos son hipotecarios y de más de 200 000 €. Se elige al azar un cliente al que le han concedido un crédito.

Calcule la probabilidad de que:

a) El crédito no sea hipotecario y no supere los 200 000 €. (1 punto)

b) Si su crédito no es hipotecario, este no supere los 200 000 €. (0,75 puntos)

c) Si su crédito supera los 200 000 €, que este no sea hipotecario. (0,75 puntos)

$\textbf{a) El crédito no sea hipotecario y no supere los 200 000 €. (1 punto)}$

Nombramos los sucesos:

$H\equiv$ el crédito es hipotecario,
$S\equiv$ el crédito supera los 200 000 €.

Del enunciado, $P(H)=0{,}70$, $P(S)=0{,}25$ y $P(H\cap S)=0{,}20$. Con estos tres datos se reparte todo el espacio muestral en cuatro zonas.



Aplicamos las leyes de Morgan y la fórmula de la probabilidad de la unión.

$P(\overline{H}\cap\overline{S})=P\left(\overline{H\cup S}\right)=1-P(H\cup S)$

$P(H\cup S)=P(H)+P(S)-P(H\cap S)=0{,}70+0{,}25-0{,}20=0{,}75$

$P(\overline{H}\cap\overline{S})=1-0{,}75=0{,}25$

La probabilidad de que el crédito no sea hipotecario y no supere los 200 000 € es $0{,}25$.

$\textbf{b) Si su crédito no es hipotecario, este no supere los 200 000 €. (0,75 puntos)}$

Es una probabilidad condicionada. Aplicamos su definición, con el numerador ya calculado en el apartado anterior.

$P(\overline{S}/\overline{H})=\dfrac{P(\overline{H}\cap\overline{S})}{P(\overline{H})} =\dfrac{0{,}25}{1-0{,}70} =\dfrac{0{,}25}{0{,}30}=\dfrac{5}{6}\approx 0{,}8333$

Si el crédito no es hipotecario, la probabilidad de que no supere los 200 000 € es $\dfrac{5}{6}\approx 0{,}8333$.

$\textbf{c) Si su crédito supera los 200 000 €, que este no sea hipotecario. (0,75 puntos)}$

De nuevo una probabilidad condicionada. El numerador es la zona de $S$ que queda fuera de $H$.

$P(\overline{H}\cap S)=P(S)-P(H\cap S)=0{,}25-0{,}20=0{,}05$

$P(\overline{H}/S)=\dfrac{P(\overline{H}\cap S)}{P(S)}=\dfrac{0{,}05}{0{,}25}=0{,}2$

Si el crédito supera los 200 000 €, la probabilidad de que no sea hipotecario es $0{,}2$.