Ejercicio resuelto de Diagramas de Venn · Matemáticas CCSS · 2024

El 7 % de los habitantes de una ciudad no tienen ni coche ni moto. De entre los que tienen coche el 36 % tienen moto y de entre los que no tienen coche el 28 % no tienen moto. Se elige al azar un habitante de esa ciudad:

a) Calcule la probabilidad de que solo tenga uno de los dos vehículos. (1 punto)

b) Calcule la probabilidad de que al menos tenga uno de los dos vehículos. (0,5 puntos)

c) Si tiene coche, ¿cuál es la probabilidad de que no tenga moto? (0,5 puntos)

d) ¿Son independientes los sucesos «tener coche» y «no tener moto»? ¿Son incompatibles? (0,5 puntos)

$\textbf{a) Calcule la probabilidad de que solo tenga uno de los dos vehículos. (1 punto)}$

Nombramos los sucesos:

$C\equiv$ el habitante tiene coche,
$M\equiv$ el habitante tiene moto.

El enunciado da $P(\overline{C}\cap\overline{M})=0{,}07$, $P(M/C)=0{,}36$ y $P(\overline{M}/\overline{C})=0{,}28$.

De la última condición y de la primera obtenemos $P(\overline{C})$:

$P(\overline{C}\cap\overline{M})=P(\overline{C})\cdot P(\overline{M}/\overline{C}) \Rightarrow 0{,}07=P(\overline{C})\cdot 0{,}28 \Rightarrow P(\overline{C})=\dfrac{0{,}07}{0{,}28}=0{,}25$

Por tanto $P(C)=0{,}75$. Con ello completamos el árbol.



Las cuatro probabilidades de los sucesos elementales son:

$P(C\cap M)=0{,}75\cdot 0{,}36=0{,}27 \qquad P(C\cap\overline{M})=0{,}75\cdot 0{,}64=0{,}48$

$P(\overline{C}\cap M)=0{,}25\cdot 0{,}72=0{,}18 \qquad P(\overline{C}\cap\overline{M})=0{,}25\cdot 0{,}28=0{,}07$

Se comprueba que las cuatro suman $1$.

Tener solo uno de los dos vehículos es tener coche y no moto, o tener moto y no coche, y esos dos sucesos son incompatibles.

$P(\text{solo uno})=P(C\cap\overline{M})+P(\overline{C}\cap M)=0{,}48+0{,}18=0{,}66$

La probabilidad de que solo tenga uno de los dos vehículos es $0{,}66$.

$\textbf{b) Calcule la probabilidad de que al menos tenga uno de los dos vehículos. (0,5 puntos)}$

El suceso contrario de «tener al menos uno» es «no tener ninguno», cuya probabilidad da el enunciado.

$P(C\cup M)=1-P(\overline{C}\cap\overline{M})=1-0{,}07=0{,}93$

La probabilidad de que tenga al menos uno de los dos vehículos es $0{,}93$.

$\textbf{c) Si tiene coche, ¿cuál es la probabilidad de que no tenga moto? (0,5 puntos)}$

Es la probabilidad condicionada complementaria de la que da el enunciado.

$P(\overline{M}/C)=1-P(M/C)=1-0{,}36=0{,}64$

Si tiene coche, la probabilidad de que no tenga moto es $0{,}64$.

$\textbf{d) ¿Son independientes los sucesos «tener coche» y «no tener moto»? ¿Son incompatibles? (0,5 puntos)}$

Dos sucesos son independientes si la probabilidad de su intersección es el producto de sus probabilidades, y son incompatibles si su intersección es el suceso imposible.

Calculamos $P(\overline{M})$ sumando las dos ramas que terminan en «no tener moto».

$P(\overline{M})=0{,}48+0{,}07=0{,}55$

Comparamos:

$P(C)\cdot P(\overline{M})=0{,}75\cdot 0{,}55=0{,}4125 \qquad P(C\cap\overline{M})=0{,}48$

Como $0{,}4125\neq 0{,}48$, los sucesos no son independientes. Y como $P(C\cap\overline{M})=0{,}48\neq 0$, tampoco son incompatibles: hay habitantes que tienen coche y no tienen moto.