Ejercicio resuelto de Diagramas de Venn · Matemáticas CCSS · 2024

Una agencia ha realizado un estudio acerca de la siniestralidad de los vehículos de una región. Se ha dividido a los conductores en dos grupos: jóvenes los menores de 30 años y sénior el resto de conductores. Asimismo, también se ha dividido a los vehículos en dos grupos: nuevos los que tienen menos de 5 años de antigüedad y viejos el resto de vehículos. De los 54 siniestros registrados, en 19 de ellos el vehículo implicado era nuevo y en 29 los conductores eran jóvenes. Finalmente, 21 de los siniestros se dieron con vehículos viejos y conductores jóvenes. Se escoge uno de estos siniestros al azar.

a) Calcule la probabilidad de que el conductor sea sénior y el vehículo viejo. (1 punto)

b) Calcule la probabilidad de que el conductor sea joven sabiendo que el vehículo es viejo. (1 punto)

c) Determine razonadamente si la siguiente afirmación es cierta: «Los siniestros de este estudio menos probables son aquellos en los que el conductor es sénior y el vehículo es nuevo». (0,5 puntos)

$\textbf{a) Calcule la probabilidad de que el conductor sea sénior y el vehículo viejo. (1 punto)}$

Llamamos $J$ al suceso «el conductor es joven» y $S$ a «el conductor es sénior»; $N$ al suceso «el vehículo es nuevo» y $V$ a «el vehículo es viejo». Con los datos del enunciado, sobre un total de 54 siniestros, montamos la tabla de contingencia y completamos las casillas que faltan por diferencia.

$$	$\text{Nuevo }(N)$	$\text{Viejo }(V)$	$\text{Total}$
Joven $(J)$	8	21	29
Sénior $(S)$	11	14	25
Total	19	35	54

Los datos que da el enunciado son los 54 siniestros, los 19 con vehículo nuevo, los 29 con conductor joven y los 21 con vehículo viejo y conductor joven. El resto sale restando:

$n(J\cap N)=29-21=8 \qquad n(S\cap N)=19-8=11 \qquad n(S\cap V)=54-19-21=14$

Aplicamos la regla de Laplace.

$P(S\cap V)=\dfrac{14}{54}=\dfrac{7}{27}\approx 0{,}2593$

La probabilidad de que el conductor sea sénior y el vehículo viejo es $\dfrac{7}{27}\approx 0{,}2593$.

$\textbf{b) Calcule la probabilidad de que el conductor sea joven sabiendo que el vehículo es viejo. (1 punto)}$

Es una probabilidad condicionada. Aplicamos su definición.

$P(J/V)=\dfrac{P(J\cap V)}{P(V)} =\dfrac{\dfrac{21}{54}}{\dfrac{35}{54}} =\dfrac{21}{35}=\dfrac{3}{5}=0{,}6$

La probabilidad de que el conductor sea joven sabiendo que el vehículo es viejo es $0{,}6$.

$\textbf{c) Determine razonadamente si la siguiente afirmación es cierta: «Los siniestros de este estudio menos probables son aquellos en los que el conductor es sénior y el vehículo es nuevo». (0,5 puntos)}$

Basta comparar las cuatro casillas interiores de la tabla, que son los cuatro sucesos elementales en que se reparte el estudio.

$P(J\cap N)=\dfrac{8}{54} \qquad P(S\cap N)=\dfrac{11}{54} \qquad P(J\cap V)=\dfrac{21}{54} \qquad P(S\cap V)=\dfrac{14}{54}$

La menor de las cuatro es $\dfrac{8}{54}$, que corresponde a conductor joven y vehículo nuevo, y no a conductor sénior y vehículo nuevo, cuya probabilidad es $\dfrac{11}{54}$.

La afirmación es falsa: los siniestros menos probables son los de conductor joven con vehículo nuevo.