Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2020

Considere $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$ y $X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$.

a) Halle los valores de $\lambda$ tales que $|A - \lambda I| = 0$, donde $I$ es la matriz identidad de orden 3. [1,25 puntos]

b) Para $\lambda = 1$, resuelva el sistema dado por $(A - \lambda I)X = 0$. ¿Existe alguna solución tal que $z = 1$? En caso afirmativo, calcúlela. En caso negativo, justifique la respuesta. [1,25 puntos]

$\textbf{a) Halle los valores de } \boldsymbol{\lambda}\textbf{ tales que } \boldsymbol{|A - \lambda I| = 0}\textbf{, donde } \boldsymbol{I}\textbf{ es la matriz identidad de orden 3. [1,25 puntos]}$

Escribimos la matriz $A-\lambda I$ restando el parámetro en la diagonal y desarrollamos su determinante por la primera columna, que tiene dos ceros.

$A-\lambda I=\begin{pmatrix}1-\lambda & 2 & 3\\ 0 & -\lambda & 2\\ 0 & 1 & 1-\lambda\end{pmatrix}$

$|A-\lambda I|=(1-\lambda)\begin{vmatrix}-\lambda & 2\\ 1 & 1-\lambda\end{vmatrix}=(1-\lambda)\left[-\lambda(1-\lambda)-2\right]$

$=(1-\lambda)\left(\lambda^{2}-\lambda-2\right)=(1-\lambda)(\lambda-2)(\lambda+1)$

Un producto se anula cuando lo hace alguno de sus factores:

$\lambda=1,\qquad \lambda=2,\qquad \lambda=-1$

Los valores pedidos son $\lambda=-1$, $\lambda=1$ y $\lambda=2$.

$\textbf{b) Para } \boldsymbol{\lambda = 1}\textbf{, resuelva el sistema dado por } \boldsymbol{(A - \lambda I)X = 0}\textbf{. ¿Existe alguna solución tal que } \boldsymbol{z = 1}\textbf{? En caso afirmativo, calcúlela. En caso negativo, justifique la respuesta. [1,25 puntos]}$

Para $\lambda=1$ el determinante se anula por el apartado anterior, así que el sistema homogéneo tiene infinitas soluciones.

$A-I=\begin{pmatrix}0 & 2 & 3\\ 0 & -1 & 2\\ 0 & 1 & 0\end{pmatrix}$

$\begin{cases}2y+3z=0\\ -y+2z=0\\ y=0\end{cases}$

La tercera ecuación da $y=0$ directamente, y llevándolo a la segunda:

$2z=0\Rightarrow z=0$

La primera ecuación se satisface entonces automáticamente. La incógnita $x$ no aparece en ninguna ecuación, luego queda libre:

$(x,y,z)=(\mu,\;0,\;0),\quad \mu\in\mathbb{R}$

El sistema tiene infinitas soluciones, todas de la forma $(\mu,0,0)$, y ninguna cumple $z=1$: las dos últimas ecuaciones obligan a que $z=0$ en todas ellas.