Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2020

Considere la matriz $A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & m + 2 \\ 0 & 1 & m + 1 \\ m & 0 & 5 \end{pmatrix}$.

a) Estudie el rango de $A$ según los valores de $m$. [1,5 puntos]

b) Para $m = 2$, calcule la inversa de $2020A$. [1 punto]

$\textbf{a) Estudie el rango de } \boldsymbol{A}\textbf{ según los valores de } \boldsymbol{m}\textbf{. [1,5 puntos]}$

Al ser $A$ de orden 3, su rango es 3 exactamente cuando el determinante no se anula, así que empezamos calculándolo.

$|A|=\begin{vmatrix}1 & -1 & m+2\\ 0 & 1 & m+1\\ m & 0 & 5\end{vmatrix}=5+\left(-m^{2}-m\right)+(m+2)(-m)$

$=5-m^{2}-m-m^{2}-2m=-2m^{2}-3m+5$

$-\left(2m+5\right)\left(m-1\right)=0\Rightarrow \begin{cases}m=1\\ m=-\dfrac{5}{2}\end{cases}$

Para los demás valores el determinante no se anula y el rango es máximo. Queda ver qué ocurre en los dos casos particulares; en ambos basta un menor de orden 2 no nulo, y el mismo sirve para los dos:

$\begin{vmatrix}1 & -1\\ 0 & 1\end{vmatrix}=1\neq0$

El rango de $A$ es $3$ si $m\neq1$ y $m\neq-\dfrac{5}{2}$, y es $2$ si $m=1$ o $m=-\dfrac{5}{2}$.

$\textbf{b) Para } \boldsymbol{m = 2}\textbf{, calcule la inversa de } \boldsymbol{2020A}\textbf{. [1 punto]}$

Para $m=2$ el rango es máximo por el apartado anterior, luego la matriz es invertible. Conviene recordar que al multiplicar una matriz por un número, la inversa se divide por él:

$\left(2020A\right)^{-1}=\dfrac{1}{2020}A^{-1}$

$A=\begin{pmatrix}1 & -1 & 4\\ 0 & 1 & 3\\ 2 & 0 & 5\end{pmatrix};\qquad |A|=-\left(2\cdot2+5\right)\left(2-1\right)=-9$

Calculamos la inversa como la traspuesta de la matriz de cofactores dividida por el determinante:

$A^{-1}=-\dfrac{1}{9}\begin{pmatrix}5 & 5 & -7\\ 6 & -3 & -3\\ -2 & -2 & 1\end{pmatrix}$

$\left(2020A\right)^{-1}=\dfrac{1}{2020}\cdot\left(-\dfrac{1}{9}\right)\begin{pmatrix}5 & 5 & -7\\ 6 & -3 & -3\\ -2 & -2 & 1\end{pmatrix}$

$\left(2020A\right)^{-1}=-\dfrac{1}{18\,180}\begin{pmatrix}5 & 5 & -7\\ 6 & -3 & -3\\ -2 & -2 & 1\end{pmatrix}$

Comprobamos el resultado: al multiplicar $2020A$ por esta matriz se obtiene la identidad.