Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2021

Considere la matriz $A = \begin{pmatrix} 0 & 3 & 4 \\ 1 & -4 & -5 \\ -1 & 3 & 4 \end{pmatrix}$.

a) Compruebe que $A^{2} = -A^{-1}$. [1,25 puntos]

b) Dadas las matrices $B = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 3 & 0 \\ -4 & 5 \end{pmatrix}$ y $C = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -3 & 2 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$, calcule la matriz $X$ que verifica $A^{4}X + B = AC$. [1,25 puntos]

$\textbf{a) Compruebe que } \boldsymbol{A^{2} = -A^{-1}}\textbf{. [1,25 puntos]}$

La igualdad que hay que comprobar equivale, multiplicando los dos miembros por $A$, a que $A^{3}=-I$, que es mucho más cómodo de verificar porque no exige calcular ninguna inversa. Antes conviene asegurarse de que $A^{-1}$ existe.

$|A|=\begin{vmatrix}0 & 3 & 4\\ 1 & -4 & -5\\ -1 & 3 & 4\end{vmatrix}=-1\neq0$

Calculamos el cuadrado:

$A^{2}=\begin{pmatrix}0 & 3 & 4\\ 1 & -4 & -5\\ -1 & 3 & 4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 & 3 & 4\\ 1 & -4 & -5\\ -1 & 3 & 4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1 & 0 & 1\\ 1 & 4 & 4\\ -1 & -3 & -3\end{pmatrix}$

Y multiplicamos otra vez por $A$:

$A^{3}=A^{2}A=\begin{pmatrix}-1 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & -1\end{pmatrix}=-I$

De $A^{2}A=-I$, multiplicando por la derecha por $A^{-1}$, se obtiene lo pedido:

$A^{2}=-A^{-1}$

$\textbf{b) Calcule la matriz } \boldsymbol{X}\textbf{ que verifica } \boldsymbol{A^{4}X + B = AC}\textbf{. [1,25 puntos]}$

Despejamos $X$ pasando $B$ al otro miembro y multiplicando por la izquierda por la inversa de $A^{4}$. La relación del apartado anterior simplifica mucho esa inversa:

$A^{4}=A^{3}A=-IA=-A\Rightarrow \left(A^{4}\right)^{-1}=-A^{-1}=A^{2}$

$A^{4}X=AC-B\Rightarrow X=A^{2}\left(AC-B\right)$

Calculamos primero el producto $AC$:

$AC=\begin{pmatrix}0 & 3 & 4\\ 1 & -4 & -5\\ -1 & 3 & 4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2 & 0\\ -3 & 2\\ 1 & -1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-5 & 2\\ 9 & -3\\ -7 & 2\end{pmatrix}$

$AC-B=\begin{pmatrix}-5 & 2\\ 9 & -3\\ -7 & 2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1 & -1\\ 3 & 0\\ -4 & 5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-6 & 3\\ 6 & -3\\ -3 & -3\end{pmatrix}$

$X=\begin{pmatrix}-1 & 0 & 1\\ 1 & 4 & 4\\ -1 & -3 & -3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-6 & 3\\ 6 & -3\\ -3 & -3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3 & -6\\ 6 & -21\\ -3 & 15\end{pmatrix}$

Comprobamos el resultado: al calcular $A^{4}X+B$ se recupera $AC$.

La matriz pedida es $X=\begin{pmatrix}3 & -6\\ 6 & -21\\ -3 & 15\end{pmatrix}$.