Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2022

Se sabe que $\begin{vmatrix} a & b & c \\ p & q & r \\ x & y & z \end{vmatrix} = -2$.

a) Calcule $\begin{vmatrix} a & c & b \\ 2x & 2z & 2y \\ -3p & -3r & -3q \end{vmatrix}$ [1 punto]

b) Calcule $\begin{vmatrix} x & a - 3p & -2a \\ y & b - 3q & -2b \\ z & c - 3r & -2c \end{vmatrix}$ [1,5 puntos]

$\textbf{a) Calcule } \boldsymbol{\begin{vmatrix} a & c & b \\ 2x & 2z & 2y \\ -3p & -3r & -3q \end{vmatrix}}\textbf{ [1 punto]}$

No hace falta conocer los nueve números: basta expresar el nuevo determinante en función del dado usando las propiedades de los determinantes. Empezamos sacando los factores comunes de la segunda y de la tercera fila.

$\begin{vmatrix}a & c & b\\ 2x & 2z & 2y\\ -3p & -3r & -3q\end{vmatrix}=2\cdot(-3)\begin{vmatrix}a & c & b\\ x & z & y\\ p & r & q\end{vmatrix}=-6\begin{vmatrix}a & c & b\\ x & z & y\\ p & r & q\end{vmatrix}$

En el determinante que queda, las columnas segunda y tercera están intercambiadas respecto del original, lo que cambia el signo:

$\begin{vmatrix}a & c & b\\ x & z & y\\ p & r & q\end{vmatrix}=-\begin{vmatrix}a & b & c\\ x & y & z\\ p & q & r\end{vmatrix}$

Y en este último las filas segunda y tercera también están intercambiadas respecto del original, lo que vuelve a cambiar el signo:

$-\begin{vmatrix}a & b & c\\ x & y & z\\ p & q & r\end{vmatrix}=+\begin{vmatrix}a & b & c\\ p & q & r\\ x & y & z\end{vmatrix}=-2$

$-6\cdot(-2)=12$

El primer determinante vale $12$.

$\textbf{b) Calcule } \boldsymbol{\begin{vmatrix} x & a - 3p & -2a \\ y & b - 3q & -2b \\ z & c - 3r & -2c \end{vmatrix}}\textbf{ [1,5 puntos]}$

Aquí la segunda columna es una suma, así que descomponemos el determinante en dos por la propiedad de linealidad, después de sacar el factor $-2$ de la tercera columna.

$\begin{vmatrix}x & a-3p & -2a\\ y & b-3q & -2b\\ z & c-3r & -2c\end{vmatrix}=-2\begin{vmatrix}x & a-3p & a\\ y & b-3q & b\\ z & c-3r & c\end{vmatrix}$

$=-2\left(\begin{vmatrix}x & a & a\\ y & b & b\\ z & c & c\end{vmatrix}-3\begin{vmatrix}x & p & a\\ y & q & b\\ z & r & c\end{vmatrix}\right)$

El primer sumando se anula por tener dos columnas iguales, de modo que solo queda el segundo:

$=6\begin{vmatrix}x & p & a\\ y & q & b\\ z & r & c\end{vmatrix}$

Este determinante es el de la matriz traspuesta de $\begin{pmatrix}x & y & z\\ p & q & r\\ a & b & c\end{pmatrix}$, y una matriz y su traspuesta tienen el mismo determinante. A su vez, esa matriz se obtiene del original intercambiando las filas primera y tercera:

$\begin{vmatrix}x & p & a\\ y & q & b\\ z & r & c\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}x & y & z\\ p & q & r\\ a & b & c\end{vmatrix}=-\begin{vmatrix}a & b & c\\ p & q & r\\ x & y & z\end{vmatrix}=-(-2)=2$

$6\cdot2=12$

El segundo determinante vale también $12$.