Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2022

Considere las matrices $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 1 & 1 & a \\ 2 & a & 1 \\ 2 & 2 & 0 \end{pmatrix}$ y $C = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 \\ 2 & -1 & -1 \end{pmatrix}$.

a) Determine los valores de $a$ para los que la matriz $B$ no tiene inversa. [0,5 puntos]

b) Para $a = 1$ calcule $X$ tal que $AXB = C$, si es posible. [2 puntos]

$\textbf{a) Determine los valores de } \boldsymbol{a}\textbf{ para los que la matriz } \boldsymbol{B}\textbf{ no tiene inversa. [0,5 puntos]}$

Una matriz cuadrada no tiene inversa exactamente cuando su determinante se anula. Lo desarrollamos por la primera fila.

$|B|=\begin{vmatrix}1 & 1 & a\\ 2 & a & 1\\ 2 & 2 & 0\end{vmatrix}=1\left(0-2\right)-1\left(0-2\right)+a\left(4-2a\right)$

$=-2+2+4a-2a^{2}=-2a\left(a-2\right)$

$-2a\left(a-2\right)=0\Rightarrow \begin{cases}a=0\\ a=2\end{cases}$

La matriz $B$ no tiene inversa para $a=0$ y para $a=2$.

$\textbf{b) Para } \boldsymbol{a = 1}\textbf{ calcule } \boldsymbol{X}\textbf{ tal que } \boldsymbol{AXB = C}\textbf{, si es posible. [2 puntos]}$

En la ecuación $AXB=C$ la incógnita está entre dos matrices, así que hay que multiplicar por la izquierda por $A^{-1}$ y por la derecha por $B^{-1}$, sin alterar ese orden. Comprobamos antes que ambas inversas existen.

$|A|=1\neq0;\qquad |B|_{a=1}=-2\cdot1\cdot(1-2)=2\neq0$

$X=A^{-1}CB^{-1}$

Las dimensiones encajan: $A^{-1}$ es $2\times2$, $C$ es $2\times3$ y $B^{-1}$ es $3\times3$, luego $X$ será $2\times3$.

$A^{-1}=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 2 & 1\end{pmatrix};\qquad B^{-1}=\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix}-2 & 2 & 0\\ 2 & -2 & 1\\ 2 & 0 & -1\end{pmatrix}$

Multiplicamos por orden, empezando por los dos primeros factores:

$A^{-1}C=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 2 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 0 & -2\\ 2 & -1 & -1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 0 & -2\\ 4 & -1 & -5\end{pmatrix}$

$X=\begin{pmatrix}1 & 0 & -2\\ 4 & -1 & -5\end{pmatrix}\cdot\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix}-2 & 2 & 0\\ 2 & -2 & 1\\ 2 & 0 & -1\end{pmatrix}=\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix}-6 & 2 & 2\\ -20 & 10 & 4\end{pmatrix}$

$X=\begin{pmatrix}-3 & 1 & 1\\ -10 & 5 & 2\end{pmatrix}$

Comprobamos el resultado: al calcular $AXB$ se recupera la matriz $C$.

Para $a=1$ la ecuación tiene solución única, $X=\begin{pmatrix}-3 & 1 & 1\\ -10 & 5 & 2\end{pmatrix}$.