Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2022

Considere la matriz $A = \begin{pmatrix} m & \sqrt{m} & \sqrt{m} \\ \sqrt{m} & m & 1 \\ \sqrt{m} & 1 & m \end{pmatrix}$, donde $m \geq 0$.

a) ¿Para qué valores de $m$ tiene inversa la matriz $A$? [1 punto]

b) Para $m = 4$ resuelva, si es posible, la ecuación matricial $AX = 12I$, donde $I$ es la matriz identidad de orden 3. [1,5 puntos]

$\textbf{a) ¿Para qué valores de } \boldsymbol{m}\textbf{ tiene inversa la matriz } \boldsymbol{A}\textbf{? [1 punto]}$

Una matriz tiene inversa si y solo si su determinante no se anula. Para operar con comodidad escribimos $s=\sqrt{m}$, de modo que $m=s^{2}$ y $s\geq0$.

$A=\begin{pmatrix}s^{2} & s & s\\ s & s^{2} & 1\\ s & 1 & s^{2}\end{pmatrix}$

$|A|=s^{2}\left(s^{4}-1\right)-s\left(s^{3}-s\right)+s\left(s-s^{3}\right)$

$=s^{2}\left(s^{4}-1\right)-2s^{2}\left(s^{2}-1\right)=s^{2}\left(s^{4}-2s^{2}+1\right)=s^{2}\left(s^{2}-1\right)^{2}$

Deshaciendo el cambio:

$|A|=m\left(m-1\right)^{2}$

$m\left(m-1\right)^{2}=0\Rightarrow \begin{cases}m=0\\ m=1\end{cases}$

Teniendo en cuenta la restricción $m\geq0$ del enunciado, la matriz $A$ tiene inversa para todo $m>0$ con $m\neq1$.

$\textbf{b) Para } \boldsymbol{m = 4}\textbf{ resuelva, si es posible, la ecuación matricial } \boldsymbol{AX = 12I}\textbf{, donde } \boldsymbol{I}\textbf{ es la matriz identidad de orden 3. [1,5 puntos]}$

Para $m=4$ se tiene $\sqrt{m}=2$, y por el apartado anterior el determinante no se anula, así que existe la inversa y podemos despejar.

$A=\begin{pmatrix}4 & 2 & 2\\ 2 & 4 & 1\\ 2 & 1 & 4\end{pmatrix};\qquad |A|=4\left(4-1\right)^{2}=36$

$AX=12I\Rightarrow X=12A^{-1}$

Calculamos la inversa como la traspuesta de la matriz de cofactores dividida por el determinante. Al ser $A$ simétrica, su inversa también lo es:

$A^{-1}=\dfrac{1}{36}\begin{pmatrix}15 & -6 & -6\\ -6 & 12 & 0\\ -6 & 0 & 12\end{pmatrix}$

$X=12\cdot\dfrac{1}{36}\begin{pmatrix}15 & -6 & -6\\ -6 & 12 & 0\\ -6 & 0 & 12\end{pmatrix}=\dfrac{1}{3}\begin{pmatrix}15 & -6 & -6\\ -6 & 12 & 0\\ -6 & 0 & 12\end{pmatrix}$

$X=\begin{pmatrix}5 & -2 & -2\\ -2 & 4 & 0\\ -2 & 0 & 4\end{pmatrix}$

Comprobamos el resultado multiplicando: $AX$ tiene un $12$ en cada posición de la diagonal y ceros fuera de ella.

Para $m=4$ la ecuación tiene solución única, $X=\begin{pmatrix}5 & -2 & -2\\ -2 & 4 & 0\\ -2 & 0 & 4\end{pmatrix}$.