Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2023

Sea la matriz $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$ e $I$ la matriz identidad de orden 3.

a) Halle los valores de $m$ para que la matriz $A - mI$ no tenga inversa. [1 punto]

b) Halle $x$, distinto de cero, para que $A - xI$ sea la inversa de la matriz $\dfrac{1}{x}(A - I)$. [1,5 puntos]

$\textbf{a) Halle los valores de } \boldsymbol{m}\textbf{ para que la matriz } \boldsymbol{A - mI}\textbf{ no tenga inversa. [1 punto]}$

Una matriz cuadrada carece de inversa exactamente cuando su determinante se anula, así que escribimos la matriz y calculamos su determinante en función de $m$.

$A-mI=\begin{pmatrix}1-m & 1 & 1\\ 1 & 1-m & 1\\ 1 & 1 & 1-m\end{pmatrix}$

Sumamos a la primera fila las otras dos, con lo que aparece el factor común $3-m$:

$|A-mI|=\begin{vmatrix}3-m & 3-m & 3-m\\ 1 & 1-m & 1\\ 1 & 1 & 1-m\end{vmatrix}=(3-m)\begin{vmatrix}1 & 1 & 1\\ 1 & 1-m & 1\\ 1 & 1 & 1-m\end{vmatrix}$

Restando la primera fila a las otras dos, el determinante queda triangular:

$=(3-m)\begin{vmatrix}1 & 1 & 1\\ 0 & -m & 0\\ 0 & 0 & -m\end{vmatrix}=(3-m)\,m^{2}$

$(3-m)m^{2}=0\Rightarrow \begin{cases}m=3\\ m=0\end{cases}$

La matriz $A-mI$ no tiene inversa para $m=0$ y para $m=3$.

$\textbf{b) Halle } \boldsymbol{x}\textbf{, distinto de cero, para que } \boldsymbol{A - xI}\textbf{ sea la inversa de la matriz } \boldsymbol{\dfrac{1}{x}(A - I)}\textbf{. [1,5 puntos]}$

Que una matriz sea la inversa de otra significa que su producto es la identidad. Planteamos esa condición y la simplificamos usando que $A$ cumple una relación muy sencilla al elevarla al cuadrado.

$(A-xI)\cdot\dfrac{1}{x}(A-I)=I$

Multiplicamos ambos miembros por $x$, que no es nulo, y desarrollamos el producto:

$(A-xI)(A-I)=xI$

$A^{2}-A-xA+xI=xI\Rightarrow A^{2}-A-xA=O$

Como todas las entradas de $A$ valen $1$, cada elemento de $A^{2}$ es la suma de tres unos:

$A^{2}=3A$

$3A-A-xA=O\Rightarrow (2-x)A=O$

La matriz $A$ no es la matriz nula, luego el escalar ha de anularse:

$2-x=0\Rightarrow x=2$

Comprobamos el resultado sustituyendo:

$(A-2I)\cdot\dfrac{1}{2}(A-I)=\dfrac{1}{2}\left(A^{2}-3A+2I\right)=\dfrac{1}{2}\left(3A-3A+2I\right)=I$

El valor pedido es $x=2$.