Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2023

Considere las matrices $A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & m \\ m & 0 & 0 \\ 0 & m & 0 \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$.

a) Determine para qué valores de $m$ existe la inversa de la matriz $A$. [0,5 puntos]

b) Para todo $m \neq -1$, resuelva, si es posible, la ecuación $AX + X = B$. [2 puntos]

$\textbf{a) Determine para qué valores de } \boldsymbol{m}\textbf{ existe la inversa de la matriz } \boldsymbol{A}\textbf{. [0,5 puntos]}$

Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero, así que basta calcularlo y ver cuándo se anula. Lo desarrollamos por la primera fila, que tiene dos ceros.

$|A|=\begin{vmatrix}0 & 0 & m\\ m & 0 & 0\\ 0 & m & 0\end{vmatrix}=m\cdot\begin{vmatrix}m & 0\\ 0 & m\end{vmatrix}=m\cdot m^{2}=m^{3}$

$m^{3}=0\Rightarrow m=0$

La matriz $A$ tiene inversa para todo $m\neq0$.

$\textbf{b) Para todo } \boldsymbol{m \neq -1}\textbf{, resuelva, si es posible, la ecuación } \boldsymbol{AX + X = B}\textbf{. [2 puntos]}$

En el primer miembro $X$ es factor común por la derecha, y al sacarlo aparece la suma $A+I$. Es esa matriz, y no $A$, la que hay que invertir.

$AX+X=B\Rightarrow (A+I)X=B$

$A+I=\begin{pmatrix}1 & 0 & m\\ m & 1 & 0\\ 0 & m & 1\end{pmatrix}$

$|A+I|=1\cdot(1-0)-0+m\cdot\left(m^{2}-0\right)=1+m^{3}$

El determinante se anula solo para $m=-1$, valor que el enunciado excluye precisamente por eso. Para el resto existe la inversa y podemos despejar:

$X=(A+I)^{-1}B$

Calculamos la inversa como la traspuesta de la matriz adjunta dividida por el determinante:

$(A+I)^{-1}=\dfrac{1}{1+m^{3}}\begin{pmatrix}1 & m^{2} & -m\\ -m & 1 & m^{2}\\ m^{2} & -m & 1\end{pmatrix}$

Multiplicamos por $B$, que al actuar por la derecha se limita a intercambiar la segunda y la tercera columna:

$X=\dfrac{1}{1+m^{3}}\begin{pmatrix}1 & m^{2} & -m\\ -m & 1 & m^{2}\\ m^{2} & -m & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0\end{pmatrix}$

$X=\dfrac{1}{1+m^{3}}\begin{pmatrix}1 & -m & m^{2}\\ -m & m^{2} & 1\\ m^{2} & 1 & -m\end{pmatrix}$

Comprobamos el resultado sustituyendo en la ecuación de partida: al multiplicar $(A+I)$ por esta matriz se recupera $B$.

Para todo $m\neq-1$ la ecuación tiene solución única, $X=\dfrac{1}{1+m^{3}}\begin{pmatrix}1 & -m & m^{2}\\ -m & m^{2} & 1\\ m^{2} & 1 & -m\end{pmatrix}$.