Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2024

Considere la matriz $A = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

a) Halle todas las matrices $X$ que cumplen $XA = -AX^{t}$ y $X^{2} = I$, donde $I$ es la matriz identidad de orden 2. [1,25 puntos]

b) Halle todas las matrices $Y$ que cumplen $YA = AY$, la suma de los elementos de su diagonal principal es cero y tienen determinante $-1$. [1,25 puntos]

$\textbf{a) Halle todas las matrices } \boldsymbol{X}\textbf{ que cumplen } \boldsymbol{XA = -AX^{t}}\textbf{ y } \boldsymbol{X^{2} = I}\textbf{, donde } \boldsymbol{I}\textbf{ es la matriz identidad de orden 2. [1,25 puntos]}$

Las condiciones mezclan la matriz con su traspuesta, así que no se puede despejar: hay que escribir $X$ con coeficientes indeterminados e identificar término a término.

$X=\begin{pmatrix}p & q\\ r & s\end{pmatrix},\qquad X^{t}=\begin{pmatrix}p & r\\ q & s\end{pmatrix}$

$XA=\begin{pmatrix}p & q\\ r & s\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-p & q\\ -r & s\end{pmatrix}$

$-AX^{t}=-\begin{pmatrix}-1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}p & r\\ q & s\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}p & r\\ -q & -s\end{pmatrix}$

Igualando las cuatro posiciones:

$\begin{cases}-p=p\Rightarrow p=0\\ q=r\\ s=-s\Rightarrow s=0\end{cases}$

$X=\begin{pmatrix}0 & q\\ q & 0\end{pmatrix}$

Imponemos ahora la segunda condición:

$X^{2}=\begin{pmatrix}q^{2} & 0\\ 0 & q^{2}\end{pmatrix}=I\Rightarrow q^{2}=1\Rightarrow q=\pm1$

Hay exactamente dos matrices que cumplen las dos condiciones: $X=\begin{pmatrix}0 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix}$ y $X=\begin{pmatrix}0 & -1\\ -1 & 0\end{pmatrix}$.

$\textbf{b) Halle todas las matrices } \boldsymbol{Y}\textbf{ que cumplen } \boldsymbol{YA = AY}\textbf{, la suma de los elementos de su diagonal principal es cero y tienen determinante } \boldsymbol{-1}\textbf{. [1,25 puntos]}$

Procedemos igual: escribimos $Y$ genérica e imponemos las tres condiciones por orden.

$Y=\begin{pmatrix}p & q\\ r & s\end{pmatrix}$

$YA=\begin{pmatrix}-p & q\\ -r & s\end{pmatrix};\qquad AY=\begin{pmatrix}-p & -q\\ r & s\end{pmatrix}$

$\begin{cases}q=-q\Rightarrow q=0\\ -r=r\Rightarrow r=0\end{cases}$

Las matrices que conmutan con $A$ son, pues, las diagonales. La condición sobre la traza da:

$p+s=0\Rightarrow s=-p$

Y la del determinante:

$|Y|=p\cdot(-p)=-p^{2}=-1\Rightarrow p^{2}=1\Rightarrow p=\pm1$

Las únicas matrices que cumplen las tres condiciones son $Y=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & -1\end{pmatrix}$ y $Y=\begin{pmatrix}-1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}$, esta última la propia matriz $A$.