Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2020

Sean las matrices $A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 4 & -1 \end{pmatrix}$.

a) Calcule los productos de matrices $A \cdot B$ y $B \cdot A$. ¿Se cumple que $A \cdot B = B \cdot A$? [1 punto]

b) Compruebe si es cierta la igualdad $(A + B)^2 = A^2 + B^2$. [1 punto]

$\textbf{a) Calcule los productos de matrices } \boldsymbol{A \cdot B}\textbf{ y } \boldsymbol{B \cdot A}\textbf{. ¿Se cumple que } \boldsymbol{A \cdot B = B \cdot A}\textbf{? [1 punto]}$

Efectuamos los dos productos por separado y comparamos los resultados.

$A\cdot B=\begin{pmatrix}1 & -1 \\ 2 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 1 \\ 4 & -1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1-4 & 1+1 \\ 2+4 & 2-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3 & 2 \\ 6 & 1\end{pmatrix}$

$B\cdot A=\begin{pmatrix}1 & 1 \\ 4 & -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & -1 \\ 2 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1+2 & -1+1 \\ 4-2 & -4-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3 & 0 \\ 2 & -5\end{pmatrix}$

Las dos matrices son distintas, luego $A\cdot B\neq B\cdot A$: el producto de matrices no es conmutativo.

$\textbf{b) Compruebe si es cierta la igualdad } \boldsymbol{(A + B)^2 = A^2 + B^2}\textbf{. [1 punto]}$

Calculamos cada miembro por separado. Primero la suma y su cuadrado:

$A+B=\begin{pmatrix}2 & 0 \\ 6 & 0\end{pmatrix}\Rightarrow (A+B)^2=\begin{pmatrix}2 & 0 \\ 6 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2 & 0 \\ 6 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4 & 0 \\ 12 & 0\end{pmatrix}$

Y ahora los dos cuadrados por separado:

$A^2=\begin{pmatrix}1-2 & -1-1 \\ 2+2 & -2+1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1 & -2 \\ 4 & -1\end{pmatrix}\qquad B^2=\begin{pmatrix}1+4 & 1-1 \\ 4-4 & 4+1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5 & 0 \\ 0 & 5\end{pmatrix}$

$A^2+B^2=\begin{pmatrix}4 & -2 \\ 4 & 4\end{pmatrix}$

$(A+B)^2=\begin{pmatrix}4 & 0 \\ 12 & 0\end{pmatrix}\neq\begin{pmatrix}4 & -2 \\ 4 & 4\end{pmatrix}=A^2+B^2$

La igualdad no es cierta. La razón está en el apartado anterior: desarrollando el cuadrado,

$(A+B)^2=A^2+AB+BA+B^2$

y la igualdad solo se cumpliría si $AB+BA$ fuese la matriz nula, cosa que aquí no ocurre porque

$AB+BA=\begin{pmatrix}0 & 2 \\ 8 & -4\end{pmatrix}\neq\begin{pmatrix}0 & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix}$