Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2021

Sea la igualdad matricial $M \cdot X = N$, donde $M = \begin{pmatrix} k & 2k & 2 \\ -1 & k & 1 \\ -1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$ y $N = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$.

a) ¿Cuántas filas y columnas debe tener la matriz $X$? Justifique la respuesta. [0,5 puntos]

b) ¿Para qué valores de $k \in \mathbb{R}$ es la matriz $M$ invertible? [1 punto]

c) ¿Puede ser $M \cdot N$ invertible para algún valor de $k \in \mathbb{R}$? [0,5 puntos]

$\textbf{a) ¿Cuántas filas y columnas debe tener la matriz } \boldsymbol{X}\textbf{? Justifique la respuesta. [0,5 puntos]}$

En un producto de matrices, el número de columnas de la primera debe coincidir con el de filas de la segunda, y el resultado tiene las filas de la primera y las columnas de la segunda.

$M$ es de orden $3\times 3$ y $N$ de orden $3\times 2$. Si $X$ es de orden $p\times q$, para que exista $M\cdot X$ hace falta $p=3$, y para que el resultado sea $N$ hace falta $q=2$.

La matriz $X$ debe tener tres filas y dos columnas.

$\textbf{b) ¿Para qué valores de } \boldsymbol{k \in \mathbb{R}}\textbf{ es la matriz } \boldsymbol{M}\textbf{ invertible? [1 punto]}$

Una matriz cuadrada es invertible si y solo si su determinante no es nulo, así que lo calculamos y averiguamos cuándo se anula.

$|M|=\begin{vmatrix}k & 2k & 2 \\ -1 & k & 1 \\ -1 & 1 & 1\end{vmatrix}=k^2-2k-2+2k-k+2k=k^2+k-2$

$k^2+k-2=0\Rightarrow k=\dfrac{-1\pm\sqrt{1+8}}{2}=\dfrac{-1\pm 3}{2}\Rightarrow \begin{cases}k=1 \\ k=-2\end{cases}$

La matriz $M$ es invertible para todo valor real de $k$ distinto de $1$ y de $-2$.

$\textbf{c) ¿Puede ser } \boldsymbol{M \cdot N}\textbf{ invertible para algún valor de } \boldsymbol{k \in \mathbb{R}}\textbf{? [0,5 puntos]}$

Basta razonar sobre el orden del producto. Solo las matrices cuadradas tienen inversa.

$M_{3\times 3}\cdot N_{3\times 2}=(M\cdot N)_{3\times 2}$

El producto es una matriz de tres filas y dos columnas, que no es cuadrada. Por tanto $M\cdot N$ no puede ser invertible para ningún valor de $k$.