Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2021

Demuestre que la matriz $M = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ verifica la ecuación $M^2 + \lambda_1 M + \lambda_2 I = 0$ y determine los escalares $\lambda_1$ y $\lambda_2$ de $\mathbb{R}$, donde $I$ y $0$ son las matrices $2 \times 2$ identidad y cero. [2 puntos]

Calculamos $M^2$, sustituimos en la ecuación y obtenemos una igualdad entre matrices; identificando entrada a entrada quedan las condiciones que deben cumplir los dos escalares.

$M^2=\begin{pmatrix}2 & 1 \\ 1 & 2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2 & 1 \\ 1 & 2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5 & 4 \\ 4 & 5\end{pmatrix}$

$M^2+\lambda_1 M+\lambda_2 I=\begin{pmatrix}5 & 4 \\ 4 & 5\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2\lambda_1 & \lambda_1 \\ \lambda_1 & 2\lambda_1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}\lambda_2 & 0 \\ 0 & \lambda_2\end{pmatrix}$

$=\begin{pmatrix}5+2\lambda_1+\lambda_2 & 4+\lambda_1 \\ 4+\lambda_1 & 5+2\lambda_1+\lambda_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix}$

De la entrada de fuera de la diagonal sale directamente el primer escalar:

$4+\lambda_1=0\Rightarrow \lambda_1=-4$

Y sustituyendo en la entrada de la diagonal:

$5+2(-4)+\lambda_2=0\Rightarrow -3+\lambda_2=0\Rightarrow \lambda_2=3$

Comprobamos que con esos valores se cumple la igualdad:

$\begin{pmatrix}5 & 4 \\ 4 & 5\end{pmatrix}-4\begin{pmatrix}2 & 1 \\ 1 & 2\end{pmatrix}+3\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5-8+3 & 4-4 \\ 4-4 & 5-8+3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix}$

La matriz verifica la ecuación con $\lambda_1=-4$ y $\lambda_2=3$. Obsérvese que $\lambda_1$ es la traza de $M$ cambiada de signo y $\lambda_2$ es su determinante, como asegura el teorema de Cayley-Hamilton.