Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2022

Sea la matriz $A = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$.

a) Estudie el rango de la matriz $A - \lambda I$ según los valores de $\lambda \in \mathbb{R}$, donde $I$ es la matriz identidad de orden $2 \times 2$. [1,5 puntos]

b) Para $\lambda = 2$ solucione el sistema $AX = \lambda X$, donde $X = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$. [0,5 puntos]

$\textbf{a) Estudie el rango de la matriz } \boldsymbol{A - \lambda I}\textbf{ según los valores de } \boldsymbol{\lambda \in \mathbb{R}}\textbf{, donde } \boldsymbol{I}\textbf{ es la matriz identidad de orden } \boldsymbol{2 \times 2}\textbf{. [1,5 puntos]}$

Formamos la matriz y calculamos su determinante: el rango será dos siempre que no se anule, y los valores que lo anulan se estudian aparte.

$A-\lambda I=\begin{pmatrix}0 & 2 \\ 1 & 1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}\lambda & 0 \\ 0 & \lambda\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\lambda & 2 \\ 1 & 1-\lambda\end{pmatrix}$

$|A-\lambda I|=-\lambda(1-\lambda)-2=\lambda^2-\lambda-2=(\lambda-2)(\lambda+1)$

$|A-\lambda I|=0\Rightarrow \begin{cases}\lambda=2 \\ \lambda=-1\end{cases}$

Si $\lambda\neq 2$ y $\lambda\neq -1$, el determinante no se anula y $\operatorname{ran}(A-\lambda I)=2$.

Para $\lambda=2$:

$A-2I=\begin{pmatrix}-2 & 2 \\ 1 & -1\end{pmatrix}$

La primera fila es $-2$ veces la segunda, luego solo hay una fila linealmente independiente y $\operatorname{ran}=1$.

Para $\lambda=-1$:

$A+I=\begin{pmatrix}1 & 2 \\ 1 & 2\end{pmatrix}$

Las dos filas son iguales, luego también $\operatorname{ran}=1$.

El rango es $2$ para todo $\lambda$ real distinto de $2$ y de $-1$, y es $1$ para esos dos valores.

$\textbf{b) Para } \boldsymbol{\lambda = 2}\textbf{ solucione el sistema } \boldsymbol{AX = \lambda X}\textbf{, donde } \boldsymbol{X = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}}\textbf{. [0,5 puntos]}$

Pasamos todo a un miembro para que quede un sistema homogéneo cuya matriz es justo la del apartado anterior.

$AX=2X\Rightarrow AX-2X=0\Rightarrow (A-2I)X=0$

$\begin{pmatrix}-2 & 2 \\ 1 & -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 \\ 0\end{pmatrix}\Rightarrow \begin{cases}-2x+2y=0 \\ x-y=0\end{cases}$

Las dos ecuaciones son la misma, como corresponde a una matriz de rango uno, así que el sistema es compatible indeterminado con un grado de libertad.

$x=y\Rightarrow y=t\Rightarrow x=t$

Las soluciones son todos los pares de la forma $(x,y)=(t,t)$, con $t$ recorriendo los números reales; es decir, los puntos de la recta $y=x$.