Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2022

Dadas las matrices $M = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 0 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}$ y $N = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & -2 \\ 0 & -1 & 3 \end{pmatrix}$, calcule la matriz $X$ cuadrada de orden 3 que cumple $M \cdot X - N = 2X$. [2 puntos]

La incógnita $X$ aparece en los dos miembros, así que la agrupamos en uno solo y sacamos factor común por la derecha, que es donde está multiplicada en los dos términos.

$M\cdot X-N=2X\Rightarrow M\cdot X-2X=N\Rightarrow (M-2I)X=N$

$M-2I=\begin{pmatrix}3 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 0 \\ 1 & 2 & 3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1\end{pmatrix}$

Es una matriz triangular, de modo que su determinante es el producto de la diagonal:

$|M-2I|=1\cdot 1\cdot 1=1\neq 0$

Existe la inversa y la calculamos con la matriz adjunta:

$(M-2I)^{-1}=\dfrac{1}{1}\operatorname{Adj}\left((M-2I)^{t}\right)=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \\ 3 & -2 & 1\end{pmatrix}$

Despejamos $X$ multiplicando por la izquierda:

$X=(M-2I)^{-1}N=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \\ 3 & -2 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & -2 \\ 0 & -1 & 3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & 1 & 0 \\ 2 & -2 & -2 \\ -4 & 2 & 7\end{pmatrix}$

Comprobamos el resultado en la ecuación de partida:

$M\cdot X-N=\begin{pmatrix}0 & 3 & 0 \\ 6 & -4 & -6 \\ -8 & 3 & 17\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & -2 \\ 0 & -1 & 3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & 2 & 0 \\ 4 & -4 & -4 \\ -8 & 4 & 14\end{pmatrix}=2X$

La matriz buscada es $X=\begin{pmatrix}0 & 1 & 0 \\ 2 & -2 & -2 \\ -4 & 2 & 7\end{pmatrix}$.