Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2023

Determine todos los números $x \in \mathbb{R}$ para los que el determinante $\begin{vmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & x & 3 \\ 4 & 1 & -x \end{vmatrix}$ es mayor o igual que cero. [2 puntos]

Desarrollamos el determinante para obtener una expresión polinómica en $x$ y después resolvemos la inecuación que resulta.

$\begin{vmatrix}1 & 0 & -1 \\ 0 & x & 3 \\ 4 & 1 & -x\end{vmatrix}=-x^2+0+0-\left(-4x\right)-3-0=-x^2+4x-3$

Se pide que ese valor sea mayor o igual que cero:

$-x^2+4x-3\geq 0\Rightarrow x^2-4x+3\leq 0$

Al multiplicar por $-1$ la desigualdad cambia de sentido. Hallamos las raíces del polinomio para factorizarlo:

$x^2-4x+3=0\Rightarrow x=\dfrac{4\pm\sqrt{16-12}}{2}=\dfrac{4\pm 2}{2}\Rightarrow \begin{cases}x=3 \\ x=1\end{cases}$

$(x-1)(x-3)\leq 0$

La parábola $y=x^2-4x+3$ abre hacia arriba, de modo que es negativa entre sus dos raíces y positiva fuera de ellas. Lo comprobamos con un punto de cada intervalo:

$x=0:\ 3>0\qquad x=2:\ -1<0\qquad x=4:\ 3>0$

El determinante es mayor o igual que cero para los valores de $x$ del intervalo cerrado $[1,3]$, y en los extremos $x=1$ y $x=3$ vale exactamente cero.