Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2023

Encuentre la matriz $X$ que verifica $(A - 3I) \cdot X = 2I$, donde $A = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 3 \end{pmatrix}$ e $I$ es la matriz identidad de orden 3. [2 puntos]

La incógnita $X$ aparece multiplicada por la izquierda por $A-3I$, así que la despejamos multiplicando los dos miembros, también por la izquierda, por la inversa de esa matriz.

$A-3I=\begin{pmatrix}3 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & 0 & 1 \\ 0 & -3 & 0 \\ 1 & 0 & 0\end{pmatrix}$

Comprobamos que esa matriz es invertible:

$|A-3I|=\begin{vmatrix}0 & 0 & 1 \\ 0 & -3 & 0 \\ 1 & 0 & 0\end{vmatrix}=3\neq 0$

Calculamos su inversa con la matriz adjunta. La matriz es simétrica, luego coincide con su traspuesta:

$(A-3I)^{-1}=\dfrac{1}{3}\begin{pmatrix}0 & 0 & 3 \\ 0 & -1 & 0 \\ 3 & 0 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & 0 & 1 \\ 0 & -\dfrac13 & 0 \\ 1 & 0 & 0\end{pmatrix}$

Despejamos ahora $X$:

$(A-3I)X=2I\Rightarrow (A-3I)^{-1}(A-3I)X=(A-3I)^{-1}\,2I\Rightarrow X=2\,(A-3I)^{-1}$

$X=2\begin{pmatrix}0 & 0 & 1 \\ 0 & -\dfrac13 & 0 \\ 1 & 0 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & 0 & 2 \\ 0 & -\dfrac23 & 0 \\ 2 & 0 & 0\end{pmatrix}$

Comprobamos el resultado sustituyendo en la ecuación de partida:

$\begin{pmatrix}0 & 0 & 1 \\ 0 & -3 & 0 \\ 1 & 0 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 & 0 & 2 \\ 0 & -\dfrac23 & 0 \\ 2 & 0 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{pmatrix}=2I$

La matriz buscada es la matriz anterior, cuya única entrada fraccionaria es el $-\frac23$ de la diagonal.