Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2024

Estudie el rango de la matriz $A = \begin{pmatrix} 2m & 1 & 1 \\ 2 & m & 1 \\ 2 & 1 & m \end{pmatrix}$ según sea el valor de $m$. [2 puntos]

El rango de una matriz cuadrada de orden tres es tres cuando su determinante no se anula, así que empezamos calculándolo y estudiamos aparte los valores de $m$ que lo anulan.

$|A|=\begin{vmatrix}2m & 1 & 1 \\ 2 & m & 1 \\ 2 & 1 & m\end{vmatrix}=2m^3+2+2-2m-2m-2m=2m^3-6m+4$

$|A|=2\left(m^3-3m+2\right)=2(m-1)^2(m+2)$

$|A|=0\Rightarrow \begin{cases}m=1 \\ m=-2\end{cases}$

Si $m\neq 1$ y $m\neq -2$, el determinante es distinto de cero y $\operatorname{ran}(A)=3$.

Estudiamos ahora cada valor que anula el determinante.

Para $m=1$:

$A=\begin{pmatrix}2 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 1\end{pmatrix}$

Las tres filas son iguales, de modo que solo una es linealmente independiente. Como hay algún elemento no nulo, $\operatorname{ran}(A)=1$.

Para $m=-2$:

$A=\begin{pmatrix}-4 & 1 & 1 \\ 2 & -2 & 1 \\ 2 & 1 & -2\end{pmatrix}$

Sabemos que $|A|=0$, luego el rango es menor que tres. Buscamos un menor de orden dos no nulo:

$\begin{vmatrix}-4 & 1 \\ 2 & -2\end{vmatrix}=8-2=6\neq 0\Rightarrow \operatorname{ran}(A)=2$

En resumen, el rango de $A$ es $3$ para todo valor real de $m$ distinto de $1$ y de $-2$; es $1$ si $m=1$ y es $2$ si $m=-2$.