Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2024

Se consideran las matrices $A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ -1 & -1 & 0 \end{pmatrix}$ y $C = \begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 \\ 3 & 0 & -1 \end{pmatrix}$.

a) Calcule la inversa de la matriz $A + A^t$, donde $A^t$ es la traspuesta de $A$. [1 punto]

b) Encuentre la matriz $X$ que verifica $XA + XA^t = C$. [1 punto]

$\textbf{a) Calcule la inversa de la matriz } \boldsymbol{A + A^t}\textbf{, donde } \boldsymbol{A^t}\textbf{ es la traspuesta de } \boldsymbol{A}\textbf{. [1 punto]}$

Escribimos la traspuesta de $A$ cambiando filas por columnas y sumamos las dos matrices.

$A^t=\begin{pmatrix}1 & 0 & -1 \\ -1 & 1 & -1 \\ 0 & 2 & 0\end{pmatrix}\Rightarrow A+A^t=\begin{pmatrix}2 & -1 & -1 \\ -1 & 2 & 1 \\ -1 & 1 & 0\end{pmatrix}$

Una matriz tiene inversa si y solo si su determinante no es nulo, así que lo calculamos por la regla de Sarrus:

$\left|A+A^t\right|=0+1+1-2-2+0=-2\neq 0$

Existe la inversa y la obtenemos con la matriz adjunta. La suma $A+A^t$ es simétrica, luego coincide con su traspuesta:

$\operatorname{Adj}\left(\left(A+A^t\right)^t\right)=\begin{pmatrix}-1 & -1 & 1 \\ -1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & 3\end{pmatrix}$

$\left(A+A^t\right)^{-1}=\dfrac{1}{-2}\begin{pmatrix}-1 & -1 & 1 \\ -1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & 3\end{pmatrix}=\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix}1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & -3\end{pmatrix}$

$\textbf{b) Encuentre la matriz } \boldsymbol{X}\textbf{ que verifica } \boldsymbol{XA + XA^t = C}\textbf{. [1 punto]}$

Sacamos factor común $X$ por la izquierda, que es donde aparece en los dos sumandos, y despejamos multiplicando por la inversa del apartado anterior.

$XA+XA^t=C\Rightarrow X\left(A+A^t\right)=C$

$X\left(A+A^t\right)\left(A+A^t\right)^{-1}=C\left(A+A^t\right)^{-1}\Rightarrow X=C\left(A+A^t\right)^{-1}$

Como $C$ es de orden $2\times 3$ y la inversa de orden $3\times 3$, el producto está definido y $X$ resulta de orden $2\times 3$:

$X=\begin{pmatrix}0 & 1 & -1 \\ 3 & 0 & -1\end{pmatrix}\cdot\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix}1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & -3\end{pmatrix}=\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix}2 & 0 & 4 \\ 4 & 2 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & 0\end{pmatrix}$

Comprobamos el resultado en la ecuación de partida:

$\begin{pmatrix}1 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2 & -1 & -1 \\ -1 & 2 & 1 \\ -1 & 1 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & 1 & -1 \\ 3 & 0 & -1\end{pmatrix}=C$

La matriz buscada es $X=\begin{pmatrix}1 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & 0\end{pmatrix}$.