Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2021

La tasa de paro (expresada en porcentaje sobre la población en edad de trabajar) registrada en cierta región europea durante los últimos 72 trimestres se ha comportado de acuerdo a la siguiente función:

$f(x)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{1}{125}}(4x^2-80x+1025)& 0\le x<35\\ {\displaystyle \frac{1}{625}}(13x^2-1560x+54300)& 35\le x\le 72\end{array}$

donde $x$ representa el trimestre.

a) Representar gráficamente la función. Justificando las respuestas, explicar si es continua, y determinar cuándo es creciente y cuándo es decreciente.

b) ¿En qué trimestre alcanzó la tasa de paro su mínimo? ¿Cuándo alcanzó el máximo? ¿Cuáles fueron los valores de las tasas de paro mínima y máxima?

c) ¿En qué trimestre se superó por primera vez el 10 % de paro?

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Representar}}\mathbf{\text{gr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ficamente}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}\mathbf{\text{Justificando}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{respuestas,}}\mathbf{\text{explicar}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{continua,}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{determinar}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ndo}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{creciente}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ndo}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{decreciente.}}$

Los dos trozos son funciones polinómicas, continuas y derivables en todo su dominio, de modo que solo hay que estudiar el empalme $x=35$.

${\lim }_{x\to {35}^{-}}f(x)={\displaystyle \frac{1}{125}}(4\cdot 1225-2800+1025)={\displaystyle \frac{3125}{125}}=25$

${\lim }_{x\to {35}^{+}}f(x)={\displaystyle \frac{1}{625}}(13\cdot 1225-54600+54300)={\displaystyle \frac{15625}{625}}=25$

Como $f(35)=25$ y los dos límites laterales valen $25$, la función es continua en todo el intervalo $[0,72]$.

Derivamos cada trozo y buscamos los puntos críticos.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{8x-80}{125}},& 0\le x<35\\ {\displaystyle \frac{26x-1560}{625}},& 35<x\le 72\end{array}$

$8x-80=0\Rightarrow x=1026x-1560=0\Rightarrow x=60$

Estudiamos el signo de la derivada.

Si $x=5$, $f^{\mathrm{\prime }}(5)={\displaystyle \frac{40-80}{125}}<0$: la tasa de paro decrece.
Si $x=20$, $f^{\mathrm{\prime }}(20)={\displaystyle \frac{160-80}{125}}>0$: la tasa de paro crece.
Si $x=40$, $f^{\mathrm{\prime }}(40)={\displaystyle \frac{1040-1560}{625}}<0$: la tasa de paro decrece.
Si $x=70$, $f^{\mathrm{\prime }}(70)={\displaystyle \frac{1820-1560}{625}}>0$: la tasa de paro crece.



La tasa de paro decrece en $(0,10)$ y en $(35,60)$, y crece en $(10,35)$ y en $(60,72)$.



$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{¿En}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{trimestre}}\mathbf{\text{alcanz}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{tasa}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{paro}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nimo?}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ndo}}\mathbf{\text{alcanz}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximo?}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{les}}\mathbf{\text{fueron}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{tasas}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{paro}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nima}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{xima?}}$

Como la función es continua en un intervalo cerrado, los extremos absolutos están entre los puntos críticos y los extremos del intervalo.

$f(0)={\displaystyle \frac{1025}{125}}=\mathrm{8,2}f(10)={\displaystyle \frac{400-800+1025}{125}}={\displaystyle \frac{625}{125}}=5$

$f(35)=25f(60)={\displaystyle \frac{46800-93600+54300}{625}}={\displaystyle \frac{7500}{625}}=12$

$f(72)={\displaystyle \frac{67392-112320+54300}{625}}={\displaystyle \frac{9372}{625}}=\mathrm{14,9952}$

La tasa de paro alcanzó su mínimo en el trimestre $10$, con un $5$ %, y su máximo en el trimestre $35$, con un $25$ %.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{¿En}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{trimestre}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{super}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{primera}}\mathbf{\text{vez}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{10}}\mathbf{\text{\%}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{paro?}}$

En el primer trozo la función parte de $\mathrm{8,2}$, baja hasta $5$ y después sube hasta $25$, así que el 10 % se supera por primera vez en ese tramo creciente. Resolvemos la ecuación.

${\displaystyle \frac{1}{125}}(4x^2-80x+1025)=10\Rightarrow 4x^2-80x+1025=1250$

$4x^2-80x-225=0\Rightarrow x={\displaystyle \frac{80\pm \sqrt{6400+3600}}{8}}={\displaystyle \frac{80\pm 100}{8}}$

$\{\begin{array}{l}x=\mathrm{22,5}\\ x=-\mathrm{2,5}\end{array}$

Se descarta la solución negativa por no pertenecer al dominio. Comprobamos con los trimestres enteros:

$f(22)={\displaystyle \frac{1936-1760+1025}{125}}={\displaystyle \frac{1201}{125}}=\mathrm{9,608}<10$

$f(23)={\displaystyle \frac{2116-1840+1025}{125}}={\displaystyle \frac{1301}{125}}=\mathrm{10,408}>10$

La tasa de paro cruza el 10 % en $x=\mathrm{22,5}$, de modo que el primer trimestre en el que se supera el 10 % de paro es el $23$.