Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2020

Una empresa que ofrece servicios en internet tiene, en el día de más actividad del año, una demanda de datos que viene dada por la función:

$D(t)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{1}{10}}{t}^2-{\displaystyle \frac{6}{5}}t+4& 0\le t\le 8\\ {\displaystyle \frac{-36}{t}}+6& 8<t\le 24\end{array}$

donde $t$ es la hora del día (de 0 a 24) y $D(t)$ es la demanda de datos a esa hora expresada en cientos de Gigabits por segundo.

a) Representa gráficamente la función. ¿Hubo una demanda continua de datos a lo largo del día? En caso negativo, ¿a qué hora hubo un salto instantáneo de la demanda y cuál fue la magnitud del salto?

b) Calcula los valores de las demandas mínima y máxima absolutas y cuando se alcanzaron.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Representa}}\mathbf{\text{gr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ficamente}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}\mathbf{\text{¿Hubo}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{demanda}}\mathbf{\text{continua}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{datos}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{lo}}\mathbf{\text{largo}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{d}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a?}}\mathbf{\text{En}}\mathbf{\text{caso}}\mathbf{\text{negativo,}}\mathbf{\text{¿a}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{hora}}\mathbf{\text{hubo}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{salto}}\mathbf{\text{instant}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{neo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{demanda}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{fue}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{magnitud}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{salto?}}$

Los dos trozos son continuos en su intervalo: el primero es polinómico y el segundo una función racional cuyo denominador solo se anula en $t=0$, valor que no pertenece a $(8,24]$. Solo hay que estudiar el empalme $t=8$.

${\lim }_{t\to 8^{-}}D(t)={\displaystyle \frac{64}{10}}-{\displaystyle \frac{6}{5}}\cdot 8+4=\mathrm{6,4}-\mathrm{9,6}+4=\mathrm{0,8}$

${\lim }_{t\to 8^{+}}D(t)=-{\displaystyle \frac{36}{8}}+6=-\mathrm{4,5}+6=\mathrm{1,5}$

Los límites laterales son distintos, así que la demanda no fue continua a lo largo del día: hubo una discontinuidad de salto finito a las 8 horas.

$\text{salto}=\mathrm{1,5}-\mathrm{0,8}=\mathrm{0,7}$

El salto fue de $\mathrm{0,7}$ cientos de Gigabits por segundo, es decir, de $70$ Gb/s, y se produjo a las $t=8$ horas.



$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcula}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{demandas}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nima}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{xima}}\mathbf{\text{absolutas}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{cuando}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{alcanzaron.}}$

Derivamos cada trozo y buscamos los puntos críticos.

$D^{\mathrm{\prime }}(t)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{t}{5}}-{\displaystyle \frac{6}{5}},& 0\le t\le 8\\ {\displaystyle \frac{36}{t^2}},& 8<t\le 24\end{array}$

${\displaystyle \frac{t}{5}}-{\displaystyle \frac{6}{5}}=0\Rightarrow t=6\in [0,8]$

En el segundo trozo la derivada es ${\displaystyle \frac{36}{t^2}}>0$ siempre, de modo que ahí la demanda crece.

Estudiamos el signo de la derivada.

Si $t=2$, $D^{\mathrm{\prime }}(2)={\displaystyle \frac{2-6}{5}}<0$: la demanda decrece.
Si $t=7$, $D^{\mathrm{\prime }}(7)={\displaystyle \frac{7-6}{5}}>0$: la demanda crece.
Si $t=12$, $D^{\mathrm{\prime }}(12)={\displaystyle \frac{36}{144}}>0$: la demanda crece.



Comparamos los valores en el punto crítico, en el punto de salto y en los extremos del intervalo.

$D(0)=4D(6)={\displaystyle \frac{36}{10}}-{\displaystyle \frac{36}{5}}+4=\mathrm{3,6}-\mathrm{7,2}+4=\mathrm{0,4}$

$D(8)=\mathrm{0,8}D(24)=-{\displaystyle \frac{36}{24}}+6=-\mathrm{1,5}+6=\mathrm{4,5}$

La demanda mínima absoluta fue de $\mathrm{0,4}$ cientos de Gb/s, es decir, $40$ Gb/s, y se alcanzó a las 6 horas. La demanda máxima absoluta fue de $\mathrm{4,5}$ cientos de Gb/s, o sea $450$ Gb/s, y se alcanzó a las 24 horas.