Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2022

La cantidad de pescado capturado en cierto lago en pequeñas embarcaciones, $P(x)$ (en kg), es una función de la longitud de la embarcación, $x$, que oscila entre 1 y 12 metros. La función que relaciona ambas magnitudes es la siguiente:

$P(x)=3x^3-45x^2+144x+230,1\le x\le 12$

Se pide, razonando las respuestas:

a) Estudie el crecimiento y decrecimiento de la cantidad de pescado capturado en función de la longitud de la embarcación utilizada. [1,5 puntos]

b) Represente gráficamente la función $P(x)$. [0,5 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Estudie}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{crecimiento}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{decrecimiento}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{cantidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{pescado}}\mathbf{\text{capturado}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{longitud}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{embarcaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{utilizada.}}\mathbf{\text{[1,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

La función crece donde su derivada es positiva y decrece donde es negativa, así que derivamos e igualamos a cero para localizar los puntos donde puede cambiar el crecimiento.

$P^{\mathrm{\prime }}(x)=9x^2-90x+144$

$P^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow 9(x^2-10x+16)=0\Rightarrow x={\displaystyle \frac{10\pm \sqrt{100-64}}{2}}={\displaystyle \frac{10\pm 6}{2}}$

$\{\begin{array}{l}x=2\\ x=8\end{array}$

Los dos valores pertenecen al intervalo $[1,12]$ de esloras posibles. Estudiamos el signo de la derivada en los tres tramos que determinan.

$P^{\mathrm{\prime }}(1)=9-90+144=63>0P^{\mathrm{\prime }}(5)=225-450+144=-81<0P^{\mathrm{\prime }}(10)=900-900+144=144>0$



La cantidad de pescado capturado crece para embarcaciones de entre 1 y 2 metros y para las de entre 8 y 12 metros, es decir, en $(1,2)\cup (8,12)$, y decrece para las de entre 2 y 8 metros, es decir, en $(2,8)$. Hay, por tanto, un máximo relativo en $x=2$ y un mínimo relativo en $x=8$.



Para dibujar la curva se calculan los valores en los extremos del intervalo y en los dos extremos relativos.

$P(1)=3-45+144+230=332\text{ kg}$

$P(2)=24-180+288+230=362\text{ kg}$

$P(8)=1536-2880+1152+230=38\text{ kg}$

$P(12)=5184-6480+1728+230=662\text{ kg}$

La captura parte de 332 kg con la embarcación más pequeña, sube hasta un máximo de 362 kg con 2 metros de eslora, cae hasta un mínimo de 38 kg con 8 metros y crece después hasta los 662 kg de la embarcación de 12 metros.