Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2021

El número de diagnosticados de COVID-19 por PCR en Andalucía, medido en miles de personas, se aproxima por la siguiente función:

$f(t)=\{\begin{array}{ll}-t^2+2t-\mathrm{0,3}& \text{si }\mathrm{0,2}\le t\le \mathrm{1,8}\\ \mathrm{0,1}t-\mathrm{0,12}& \text{si }\mathrm{1,8}<t\le 5\\ -\mathrm{0,5}{t}^2+\mathrm{8,3}t-\mathrm{28,62}& \text{si }5<t\le 10\end{array}$

donde $t$ es el tiempo, medido en meses, a partir del inicio de conteo en el mes de marzo de 2020.

a) Estudie la continuidad y derivabilidad de la función $f$ en su dominio. (1,5 puntos)

b) ¿En qué instante o instantes es máximo el número de diagnosticados? ¿Cuál es ese número? (1 punto)

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Estudie}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{continuidad}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{derivabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathit{f}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{dominio.}}\mathbf{\text{(1,5}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Las tres ramas son polinómicas, luego son continuas y derivables en todo $\mathbb{R}$. Los puntos que hay que estudiar son $t=\mathrm{1,8}$ y $t=5$, donde cambia la expresión.

En $t=\mathrm{1,8}$:

${\lim }_{t\to {\mathrm{1,8}}^{-}}f(t)=-{\mathrm{1,8}}^2+2\cdot \mathrm{1,8}-\mathrm{0,3}=-\mathrm{3,24}+\mathrm{3,6}-\mathrm{0,3}=\mathrm{0,06}$

${\lim }_{t\to {\mathrm{1,8}}^{+}}f(t)=\mathrm{0,1}\cdot \mathrm{1,8}-\mathrm{0,12}=\mathrm{0,18}-\mathrm{0,12}=\mathrm{0,06}$

Los dos límites laterales coinciden con $f(\mathrm{1,8})=\mathrm{0,06}$, luego la función es continua en $t=\mathrm{1,8}$.

En $t=5$:

${\lim }_{t\to 5^{-}}f(t)=\mathrm{0,1}\cdot 5-\mathrm{0,12}=\mathrm{0,38}$

${\lim }_{t\to 5^{+}}f(t)=-\mathrm{0,5}\cdot 25+\mathrm{8,3}\cdot 5-\mathrm{28,62}=-\mathrm{12,5}+\mathrm{41,5}-\mathrm{28,62}=\mathrm{0,38}$

También coinciden, luego la función es continua en $t=5$ y, por tanto, en todo su dominio $[\mathrm{0,2};10]$.

Para la derivabilidad calculamos las derivadas laterales.

$f^{\mathrm{\prime }}(t)=\{\begin{array}{ll}-2t+2& \text{si }\mathrm{0,2}\le t<\mathrm{1,8}\\ \mathrm{0,1}& \text{si }\mathrm{1,8}<t<5\\ -t+\mathrm{8,3}& \text{si }5<t\le 10\end{array}$

$f^{\mathrm{\prime }}({\mathrm{1,8}}^{-})=-\mathrm{3,6}+2=-\mathrm{1,6}{f}^{\mathrm{\prime }}({\mathrm{1,8}}^{+})=\mathrm{0,1}$

$f^{\mathrm{\prime }}(5^{-})=\mathrm{0,1}{f}^{\mathrm{\prime }}(5^{+})=-5+\mathrm{8,3}=\mathrm{3,3}$

En los dos puntos las derivadas laterales son distintas, así que la función no es derivable ni en $t=\mathrm{1,8}$ ni en $t=5$: la gráfica presenta ahí sendos puntos angulosos. Es derivable en el resto de su dominio.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{¿En}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{instante}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{instantes}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximo}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{diagnosticados?}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{ese}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero?}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

Buscamos los puntos críticos de cada rama y comparamos su valor con el de los extremos del dominio y el de los puntos angulosos.

Primera rama: $-2t+2=0\Rightarrow t=1$, que pertenece a $[\mathrm{0,2};\mathrm{1,8}]$.

$f(1)=-1+2-\mathrm{0,3}=\mathrm{0,7}$

Segunda rama: la derivada vale $\mathrm{0,1}>0$, así que la función crece y su mayor valor es el del extremo, $f(5)=\mathrm{0,38}$.

Tercera rama: $-t+\mathrm{8,3}=0\Rightarrow t=\mathrm{8,3}$, que pertenece a $(5,10]$.

$f(\mathrm{8,3})=-\mathrm{0,5}\cdot \mathrm{68,89}+\mathrm{8,3}\cdot \mathrm{8,3}-\mathrm{28,62}=-\mathrm{34,445}+\mathrm{68,89}-\mathrm{28,62}=\mathrm{5,825}$

Comprobamos también los extremos del dominio.

$f(\mathrm{0,2})=-\mathrm{0,04}+\mathrm{0,4}-\mathrm{0,3}=\mathrm{0,06}f(10)=-50+83-\mathrm{28,62}=\mathrm{4,38}$

El mayor de todos estos valores es $\mathrm{5,825}$.



El número de diagnosticados es máximo en el instante $t=\mathrm{8,3}$ meses, es decir, a los 8 meses y 9 días del inicio del conteo, y ese máximo es de $\mathrm{5,825}$ miles de personas, o sea, 5 825 diagnosticados.