Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2020

Se considera la función $f(x)=a{x}^3+bx+4$, con $a$ y $b$ números reales.

a) Determine los valores $a$ y $b$ para que $f$ tenga un extremo relativo en el punto $(2,36)$. (1 punto)

b) Para $a=4$ y $b=-3$, estudie la monotonía de $f$ y determine sus extremos relativos. (0,75 puntos)

c) Para $a=4$ y $b=-3$, calcule la función $F(x)$ que verifica $F^{\mathrm{\prime }}(x)=f(x)$ y $F(2)=10$. (0,75 puntos)

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{valores}}\mathit{a}\mathbf{\text{y}}\mathit{b}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathit{f}\mathbf{\text{tenga}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{extremo}}\mathbf{\text{relativo}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{punto}}\mathrm{<mrow><mo\; stretchy="false">(</mo><mn\; mathvariant="bold">2</mn><mo\; separator="true">,</mo><mn\; mathvariant="bold">36</mn><mo\; stretchy="false">)</mo></mrow>}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

Traducimos las dos condiciones: la gráfica pasa por el punto y en él se anula la derivada.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=3a{x}^2+b$

La gráfica pasa por $(2,36)$:

$f(2)=36\Rightarrow 8a+2b+4=36\Rightarrow 8a+2b=32\Rightarrow 4a+b=16$

En un extremo relativo la derivada se anula:

$f^{\mathrm{\prime }}(2)=0\Rightarrow 12a+b=0$

Restamos la primera ecuación de la segunda.

$\{\begin{array}{l}4a+b=16\\ 12a+b=0\end{array}\Rightarrow 8a=-16\Rightarrow a=-2\Rightarrow b=-12a=24$

Los valores buscados son $a=-2$ y $b=24$, con lo que $f(x)=-2x^3+24x+4$.



Con esos valores la función es $f(x)=4x^3-3x+4$. Derivamos e igualamos a cero.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=12x^2-3=3(4x^2-1)=3(2x-1)(2x+1)$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\\ x={\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}$

Estudiamos el signo de la derivada.



$\{\begin{array}{l}{f}^{\mathrm{\prime }}(-1)=12-3=9>0\\ f^{\mathrm{\prime }}(0)=-3<0\\ f^{\mathrm{\prime }}(1)=12-3=9>0\end{array}$

La función crece en $(-\mathrm{\infty },-{\displaystyle \frac{1}{2}})\cup ({\displaystyle \frac{1}{2}},+\mathrm{\infty })$ y decrece en $(-{\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{1}{2}})$.

Como pasa de crecer a decrecer, en $x=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$ hay un máximo relativo, y como pasa de decrecer a crecer, en $x={\displaystyle \frac{1}{2}}$ hay un mínimo relativo.

$f(-{\displaystyle \frac{1}{2}})=-{\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{3}{2}}+4=5f\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)={\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{3}{2}}+4=3$

El máximo relativo es $(-{\displaystyle \frac{1}{2}},5)$ y el mínimo relativo es $({\displaystyle \frac{1}{2}},3)$.



La condición $F^{\mathrm{\prime }}(x)=f(x)$ dice que $F$ es una primitiva de $f$, así que integramos.

$F(x)=\int (4x^3-3x+4)dx=x^4-{\displaystyle \frac{3x^2}{2}}+4x+C$

Determinamos la constante con la condición $F(2)=10$.

$F(2)=16-6+8+C=18+C=10\Rightarrow C=-8$

La función buscada es

$F(x)=x^4-{\displaystyle \frac{3x^2}{2}}+4x-8$