Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2024

La evolución de la rentabilidad de un fondo de inversión a lo largo del tiempo, $x$ en años, viene definida por la función

$R(x)=\{\begin{array}{ll}-(x+(t-3){)}^2+(t+27)& \text{si }0\le x\le 3\\ -{\displaystyle \frac{1}{3}}{x}^3-t{x}^2+5x-3& \text{si }x>3\end{array}$

a) ¿Para qué valores de $t$ la rentabilidad del fondo, $R(x)$, es una función continua en $x=3$? (0,5 puntos)

b) Para $t=-2$, ¿cuándo se tiene la mayor rentabilidad en el fondo a partir del tercer año? (0,5 puntos)

c) Para $t=-2$, determina en qué intervalos de tiempo la rentabilidad del fondo crece y en cuáles decrece a partir del tercer año. (0,5 puntos)

Cada trozo es un polinomio, luego es continuo en su intervalo. Para que $R$ lo sea también en $x=3$ los dos valores laterales deben coincidir.

${\lim }_{x\to 3^{-}}R(x)=R(3)=-(3+t-3{)}^2+(t+27)=-t^2+t+27$

${\lim }_{x\to 3^{+}}R(x)=-{\displaystyle \frac{27}{3}}-9t+15-3=3-9t$

Igualamos ambos valores:

$-t^2+t+27=3-9t\Rightarrow t^2-10t-24=0$

$t={\displaystyle \frac{10\pm \sqrt{100+96}}{2}}={\displaystyle \frac{10\pm 14}{2}}\Rightarrow \{\begin{array}{l}t=12\\ t=-2\end{array}$

La rentabilidad es una función continua en $x=3$ para $t=12$ y para $t=-2$.



A partir del tercer año la rentabilidad la da el segundo trozo, que con $t=-2$ queda:

$R(x)=-{\displaystyle \frac{1}{3}}{x}^3+2x^2+5x-3,x>3$

Buscamos los puntos críticos derivando e igualando a cero.

$R^{\mathrm{\prime }}(x)=-x^2+4x+5$

$R^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow x^2-4x-5=0\Rightarrow x={\displaystyle \frac{4\pm 6}{2}}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=5\\ x=-1\end{array}$

Se descarta $x=-1$ por no pertenecer al intervalo $x>3$. Comprobamos el signo de la segunda derivada en el punto que queda:

$R^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=-2x+4\Rightarrow R^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(5)=-6<0$

Al ser negativa, en $x=5$ hay un máximo relativo, y su valor es:

$R(5)=-{\displaystyle \frac{125}{3}}+50+25-3={\displaystyle \frac{91}{3}}\approx \mathrm{30,33}$

La mayor rentabilidad del fondo a partir del tercer año se alcanza a los 5 años y vale aproximadamente 30,33.



Hacemos un estudio del signo de $R^{\mathrm{\prime }}(x)=-x^2+4x+5$ en $x>3$, donde el único punto crítico es $x=5$.

$R^{\mathrm{\prime }}(4)=-16+16+5=5>0,R^{\mathrm{\prime }}(6)=-36+24+5=-7<0$



La rentabilidad del fondo crece entre el tercer y el quinto año, $(3,5)$, y decrece a partir del quinto, $(5,+\mathrm{\infty })$.