Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2021

Las ventas de un producto (en miles de euros), $V(t)$, en los 6 primeros años desde que se lanzó al mercado, evolucionan de acuerdo con la siguiente función:

$V(t)=4t^3-24t^2+36t+100,0\le t\le 6$

Se pide determinar, razonando las respuestas:

a) Estudie el crecimiento y decrecimiento de las ventas a lo largo de los 6 años. [1,5 puntos]

b) Represente gráficamente la función $V(t)$. [0,5 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Estudie}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{crecimiento}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{decrecimiento}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{ventas}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{lo}}\mathbf{\text{largo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{6}}\mathbf{\text{a}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{os.}}\mathbf{\text{[1,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Las ventas crecen donde su derivada es positiva y decrecen donde es negativa, así que derivamos e igualamos a cero para localizar los puntos donde puede cambiar el crecimiento.

$V^{\mathrm{\prime }}(t)=12t^2-48t+36$

$V^{\mathrm{\prime }}(t)=0\Rightarrow 12(t^2-4t+3)=0\Rightarrow t={\displaystyle \frac{4\pm \sqrt{16-12}}{2}}={\displaystyle \frac{4\pm 2}{2}}$

$\{\begin{array}{l}t=1\\ t=3\end{array}$

Los dos valores pertenecen al intervalo $[0,6]$. Estudiamos el signo de la derivada en los tres tramos que determinan.

$V^{\mathrm{\prime }}(0)=36>0V^{\mathrm{\prime }}(2)=48-96+36=-12<0V^{\mathrm{\prime }}(4)=192-192+36=36>0$



Las ventas crecen durante el primer año y desde el tercero hasta el sexto, es decir, en $(0,1)\cup (3,6)$, y decrecen entre el primer y el tercer año, es decir, en $(1,3)$. Hay un máximo relativo en $t=1$ y un mínimo relativo en $t=3$.



Para dibujar la curva se calculan los valores en los extremos del intervalo y en los dos extremos relativos.

$V(0)=100\text{ miles de euros}$

$V(1)=4-24+36+100=116\text{ miles de euros}$

$V(3)=108-216+108+100=100\text{ miles de euros}$

$V(6)=864-864+216+100=316\text{ miles de euros}$

El producto sale al mercado con 100 mil euros de ventas, sube hasta un máximo de 116 mil el primer año, cae hasta 100 mil el tercero y crece después con fuerza hasta los 316 mil del sexto año.