Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2024

a) Calcule la derivada de las funciones siguientes:

$f(x)=(x^2+2{)}^3\cdot e^{-2x}$, $g(x)={\displaystyle \frac{\ln (1-x^3)}{(1-2x^2{)}^2}}$ (1,5 puntos)

b) Halle los valores de $a$ y $b$ para que sea horizontal la recta tangente a la gráfica de la función $h(x)=x^3+a{x}^2+3x+b$ en el punto $P(1,2)$. (1 punto)

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{derivada}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{funciones}}\mathbf{\text{siguientes:}}$



La función $f$ es un producto, así que aplicamos la regla del producto y, dentro de cada factor, la regla de la cadena.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=3(x^2+2{)}^2\cdot 2x\cdot e^{-2x}+(x^2+2{)}^3\cdot (-2)e^{-2x}$

Sacamos factor común $2(x^2+2{)}^2{e}^{-2x}$.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=2(x^2+2{)}^2{e}^{-2x}[3x-(x^2+2)]$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=2(x^2+2{)}^2{e}^{-2x}(-x^2+3x-2)=-2(x^2+2{)}^2{e}^{-2x}(x-1)(x-2)$

La función $g$ es un cociente. Derivamos el numerador por la regla de la cadena y el denominador también.

$g^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{-3x^2}{1-x^3}}\cdot (1-2x^2{)}^2-\ln (1-x^3)\cdot 2(1-2x^2)\cdot (-4x)}{(1-2x^2{)}^4}}$

Simplificamos un factor $(1-2x^2)$ en el numerador y en el denominador.

$g^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{-3x^2}{1-x^3}}\cdot (1-2x^2)+8x\ln (1-x^3)}{(1-2x^2{)}^3}}$

$g^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{-3x^2}{(1-x^3)(1-2x^2{)}^2}}+{\displaystyle \frac{8x\ln (1-x^3)}{(1-2x^2{)}^3}}$



Imponemos dos condiciones: que la gráfica pase por el punto $P(1,2)$ y que la pendiente de la recta tangente en ese punto, que es $h^{\mathrm{\prime }}(1)$, sea nula, pues una recta horizontal tiene pendiente cero.

Derivamos la función.

$h^{\mathrm{\prime }}(x)=3x^2+2ax+3$

De la condición de tangente horizontal:

$h^{\mathrm{\prime }}(1)=0\Rightarrow 3+2a+3=0\Rightarrow 2a=-6\Rightarrow a=-3$

De la condición de que la gráfica pase por $P(1,2)$:

$h(1)=2\Rightarrow 1+a+3+b=2$

Sustituyendo $a=-3$:

$1-3+3+b=2\Rightarrow b=1$

La recta tangente a la gráfica de $h$ en $P(1,2)$ es horizontal cuando $a=-3$ y $b=1$.