Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2020

Durante los últimos 10 años el déficit en las cuentas de una institución, en millones de euros, viene dado por la función:

$D(t)=\{\begin{array}{ll}-{\displaystyle \frac{(t-2{)}^2}{4}}+5,& t\in [0,4]\\ {\displaystyle \frac{(t-7{)}^2}{9}}+3,& t\in ]4,10]\end{array}$

siendo $t$ el tiempo en años. Justificando la respuesta:

a) ¿Es continua $D(t)$? Representarla gráficamente.

b) ¿Es $D(t)$ derivable?

c) ¿Entre qué valores varía $D(t)$? ¿Cuáles son sus intervalos de crecimiento y de decrecimiento? ¿Cuándo alcanza los valores máximos y mínimos absolutos?

Los dos trozos son funciones polinómicas, continuas y derivables en todo su dominio, de modo que solo hay que estudiar el empalme $t=4$.

${\lim }_{t\to 4^{-}}D(t)=-{\displaystyle \frac{(4-2{)}^2}{4}}+5=-{\displaystyle \frac{4}{4}}+5=4$

${\lim }_{t\to 4^{+}}D(t)={\displaystyle \frac{(4-7{)}^2}{9}}+3={\displaystyle \frac{9}{9}}+3=4$

Como $D(4)=4$ y los dos límites laterales valen $4$, la función es continua en todo el intervalo $[0,10]$.





Derivamos cada trozo y comparamos las derivadas laterales en $t=4$.

$D^{\mathrm{\prime }}(t)=\{\begin{array}{ll}-{\displaystyle \frac{t-2}{2}},& 0\le t<4\\ {\displaystyle \frac{2(t-7)}{9}},& 4<t\le 10\end{array}$

$D^{\mathrm{\prime }}(4^{-})=-{\displaystyle \frac{2}{2}}=-1D^{\mathrm{\prime }}(4^{+})={\displaystyle \frac{2\cdot (-3)}{9}}=-{\displaystyle \frac{2}{3}}$

Las derivadas laterales son distintas, de modo que $D(t)$ no es derivable en $t=4$; sí lo es en el resto del intervalo, donde la gráfica presenta un punto anguloso en ese año.



Buscamos los puntos críticos de cada trozo.

$-{\displaystyle \frac{t-2}{2}}=0\Rightarrow t=2{\displaystyle \frac{2(t-7)}{9}}=0\Rightarrow t=7$

Estudiamos el signo de la derivada.

Si $t=1$, $D^{\mathrm{\prime }}(1)={\displaystyle \frac{1}{2}}>0$: el déficit crece.
Si $t=3$, $D^{\mathrm{\prime }}(3)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}<0$: el déficit decrece.
Si $t=5$, $D^{\mathrm{\prime }}(5)={\displaystyle \frac{2\cdot (-2)}{9}}<0$: el déficit decrece.
Si $t=9$, $D^{\mathrm{\prime }}(9)={\displaystyle \frac{2\cdot 2}{9}}>0$: el déficit crece.



El déficit crece en $(0,2)$ y en $(7,10)$, y decrece en $(2,7)$; en $t=4$ no hay cambio de tendencia, solo el punto anguloso.

Como la función es continua en un intervalo cerrado, los extremos absolutos están entre los puntos críticos y los extremos del intervalo.

$D(0)=-{\displaystyle \frac{4}{4}}+5=4D(2)=5$

$D(7)=3D(10)={\displaystyle \frac{9}{9}}+3=4$

El déficit varía entre $3$ y $5$ millones de euros: alcanza su máximo absoluto de $5$ millones a los 2 años y su mínimo absoluto de $3$ millones a los 7 años.