Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2021

Durante los últimos 10 años, los costos en comunicaciones de una empresa, en decenas de miles de euros, vienen dados por la función:

$C(t)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{(t-1{)}^2}{3}}+4& ,t\in [0,4]\\ {\displaystyle \frac{18-t}{2}}& ,t\in (4,10]\end{array}$

siendo $t$ el tiempo en años. Justificando la respuesta:

a) ¿Es continua $C(t)$?

b) ¿Cuándo $C(t)$ es derivable? ¿Cuándo creció y cuándo decreció $C(t)$?

c) ¿Cuándo alcanzó $C(t)$ el máximo y el mínimo absolutos? ¿Cuáles fueron los valores máximos y mínimos absolutos?

Los dos trozos son funciones polinómicas, continuas y derivables en todo su dominio, de modo que solo hay que estudiar el empalme $t=4$.

${\lim }_{t\to 4^{-}}C(t)={\displaystyle \frac{(4-1{)}^2}{3}}+4={\displaystyle \frac{9}{3}}+4=7$

${\lim }_{t\to 4^{+}}C(t)={\displaystyle \frac{18-4}{2}}={\displaystyle \frac{14}{2}}=7$

Como $C(4)=7$ y los dos límites laterales valen $7$, la función es continua en todo el intervalo $[0,10]$.



Derivamos cada trozo y comparamos las derivadas laterales en $t=4$.

$C^{\mathrm{\prime }}(t)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{2(t-1)}{3}},& 0\le t<4\\ -{\displaystyle \frac{1}{2}},& 4<t\le 10\end{array}$

$C^{\mathrm{\prime }}(4^{-})={\displaystyle \frac{2\cdot 3}{3}}=2C^{\mathrm{\prime }}(4^{+})=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$

Las derivadas laterales son distintas, así que la función es derivable en $[0,10]$ salvo en $t=4$.

Buscamos los puntos críticos: en el primer trozo $2(t-1)=0\Rightarrow t=1$; en el segundo la derivada es la constante negativa $-{\displaystyle \frac{1}{2}}$ y no hay ninguno.

Estudiamos el signo de la derivada.

Si $t=\mathrm{0,5}$, $C^{\mathrm{\prime }}(\mathrm{0,5})={\displaystyle \frac{2(-\mathrm{0,5})}{3}}<0$: los costes decrecen.
Si $t=2$, $C^{\mathrm{\prime }}(2)={\displaystyle \frac{2}{3}}>0$: los costes crecen.
Si $t=6$, $C^{\mathrm{\prime }}(6)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}<0$: los costes decrecen.



Los costes decrecieron en $(0,1)$, crecieron en $(1,4)$ y volvieron a decrecer en $(4,10)$.



Como la función es continua en un intervalo cerrado, los extremos absolutos están entre los puntos críticos, el punto anguloso y los extremos del intervalo.

$C(0)={\displaystyle \frac{1}{3}}+4={\displaystyle \frac{13}{3}}\approx \mathrm{4,33}C(1)=0+4=4$

$C(4)=7C(10)={\displaystyle \frac{18-10}{2}}=4$



El máximo absoluto se alcanzó en $t=4$ y vale $7$ decenas de miles de euros, es decir, 70 000 euros. El mínimo absoluto vale $4$ decenas de miles de euros, o sea 40 000 euros, y se alcanzó dos veces: en $t=1$ y en $t=10$.