Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2023

Según un determinado estudio, la probabilidad de que un cliente realice una compra, en una tienda de un centro comercial, es del 10 %. En una muestra aleatoria de 500 clientes, calcular la probabilidad de que:

a) Entre 40 y 60 clientes realicen una compra.

b) Al menos, 435 clientes no hayan comprado.

c) Al menos 45 clientes realicen una compra.

Sea $X$ el número de clientes de la muestra que realizan una compra. Cada cliente compra con probabilidad $\mathrm{0,1}$ e independientemente de los demás, de modo que $X\sim B(500;\mathrm{0,1})$.

$\mu =np=500\cdot \mathrm{0,1}=50\sigma =\sqrt{npq}=\sqrt{500\cdot \mathrm{0,1}\cdot \mathrm{0,9}}=\sqrt{45}=\mathrm{6,71}$

Como $np=50>5$ y $nq=450>5$, la binomial se aproxima por la normal $X^{\mathrm{\prime }}\sim N(50;\mathrm{6,71})$, con corrección de continuidad.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Entre}}\mathbf{\text{40}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{60}}\mathbf{\text{clientes}}\mathbf{\text{realicen}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{compra.}}$

$P(40\le X\le 60)\approx P(\mathrm{39,5}\le X^{\mathrm{\prime }}\le \mathrm{60,5})$

$=P({\displaystyle \frac{\mathrm{39,5}-50}{\mathrm{6,71}}}\le Z\le {\displaystyle \frac{\mathrm{60,5}-50}{\mathrm{6,71}}})=P(-\mathrm{1,57}\le Z\le \mathrm{1,57})$

$=2\cdot P(Z\le \mathrm{1,57})-1=2\cdot \mathrm{0,9418}-1=\mathrm{0,8836}$

La probabilidad de que entre 40 y 60 clientes realicen una compra es $\mathrm{0,8836}$.



$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Al}}\mathbf{\text{menos,}}\mathbf{\text{435}}\mathbf{\text{clientes}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{hayan}}\mathbf{\text{comprado.}}$

Que al menos 435 de los 500 clientes no compren equivale a que como mucho $500-435=65$ sí compren, así que seguimos trabajando con la misma variable.

$P(X\le 65)\approx P(X^{\mathrm{\prime }}\le \mathrm{65,5})=P(Z\le {\displaystyle \frac{\mathrm{65,5}-50}{\mathrm{6,71}}})=P(Z\le \mathrm{2,31})$

$=\mathrm{0,9896}$

La probabilidad de que al menos 435 clientes no hayan comprado es $\mathrm{0,9896}$.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Al}}\mathbf{\text{menos}}\mathbf{\text{45}}\mathbf{\text{clientes}}\mathbf{\text{realicen}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{compra.}}$

$P(X\ge 45)\approx P(X^{\mathrm{\prime }}\ge \mathrm{44,5})=P(Z\ge {\displaystyle \frac{\mathrm{44,5}-50}{\mathrm{6,71}}})=P(Z\ge -\mathrm{0,82})$

Por la simetría de la campana,

$P(Z\ge -\mathrm{0,82})=P(Z\le \mathrm{0,82})=\mathrm{0,7939}$

La probabilidad de que al menos 45 clientes realicen una compra es $\mathrm{0,7939}$.