Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2020

Dadas las matrices:

$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 9 \\ 10 & -3 & 5 \end{pmatrix} \qquad B = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 0 \\ 1 & 3 & 9 \\ 10 & -3 & 4 \end{pmatrix} \qquad C = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ -3 & -1 \\ 6 & 0 \end{pmatrix}$

Se plantea la siguiente ecuación matricial: $X \cdot A - C^t = X \cdot B$

a) Justifique razonadamente cuál es la dimensión de la matriz $X$. [0,5 puntos]

b) Halle la matriz $X$ que cumple la ecuación. [2 puntos]

$\textbf{a) Justifique razonadamente cuál es la dimensión de la matriz } \boldsymbol{X}\textbf{. [0,5 puntos]}$

Se razona con las dimensiones de cada producto, exigiendo que todas las operaciones estén definidas y que los dos miembros de la ecuación tengan el mismo tamaño.

Si $X$ es de orden $m\times n$, para poder multiplicarla por $A$, que es $3\times 3$, ha de ser $n=3$, y el producto $X\cdot A$ resulta $m\times 3$. Lo mismo ocurre con $X\cdot B$.

Por otra parte, $C$ es $3\times 2$, luego $C^{t}$ es $2\times 3$. Para que la resta $X\cdot A-C^{t}$ tenga sentido, $m=2$.

La matriz $X$ es, por tanto, de dimensión $2\times 3$.

$\textbf{b) Halle la matriz } \boldsymbol{X}\textbf{ que cumple la ecuación. [2 puntos]}$

En los dos miembros la incógnita aparece multiplicada por la derecha, así que se agrupan los términos con $X$ y se saca factor común por ese lado.

$X\cdot A-C^{t}=X\cdot B\Rightarrow X\cdot A-X\cdot B=C^{t}\Rightarrow X(A-B)=C^{t}$

$A-B=\begin{pmatrix}1 & 2 & 1\\ 1 & 2 & 9\\ 10 & -3 & 5\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2 & 2 & 0\\ 1 & 3 & 9\\ 10 & -3 & 4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1 & 0 & 1\\ 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}$

Comprobamos que esa matriz es invertible antes de despejar. Al ser triangular, su determinante es el producto de los elementos de la diagonal.

$|A-B|=(-1)\cdot(-1)\cdot 1=1\neq 0$

$X(A-B)(A-B)^{-1}=C^{t}(A-B)^{-1}\Rightarrow X=C^{t}(A-B)^{-1}$

$(A-B)^{-1}=\dfrac{1}{|A-B|}\operatorname{Adj}\left((A-B)^{t}\right)=\begin{pmatrix}-1 & 0 & 1\\ 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}$

—resulta ser ella misma, algo que se comprueba de inmediato multiplicándola por sí misma—.

$C^{t}=\begin{pmatrix}-1 & -3 & 6\\ 0 & -1 & 0\end{pmatrix}$

$X=\begin{pmatrix}-1 & -3 & 6\\ 0 & -1 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1 & 0 & 1\\ 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 3 & 5\\ 0 & 1 & 0\end{pmatrix}$

La matriz que cumple la ecuación es $X=\begin{pmatrix}1 & 3 & 5\\ 0 & 1 & 0\end{pmatrix}$, de orden $2\times 3$ como se había razonado en el apartado anterior.