Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2020

Dada la matriz $A = \begin{pmatrix} k & 0 & 1 \\ 0 & k-1 & k-1 \\ k & 1 & k-3 \end{pmatrix}$

a) Halle los valores del parámetro $k$ para los que la matriz $A$ tiene inversa. [1 punto]

b) Tomando el valor $k = -1$ en la matriz $A$, calcule la matriz $X$ que verifica que $A \cdot X = 24 \cdot I_3$, siendo $I_3$ la matriz identidad de orden 3. [1,5 puntos]

$\textbf{a) Halle los valores del parámetro } \boldsymbol{k}\textbf{ para los que la matriz } \boldsymbol{A}\textbf{ tiene inversa. [1 punto]}$

Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante no se anula, así que basta calcular $|A|$ y ver dónde vale cero.

$|A|=\begin{vmatrix}k & 0 & 1\\ 0 & k-1 & k-1\\ k & 1 & k-3\end{vmatrix}=k(k-1)(k-3)+0+0-\left[k(k-1)+k(k-1)+0\right]$

$=k(k-1)(k-3)-2k(k-1)=k(k-1)\left[(k-3)-2\right]=k(k-1)(k-5)$

$|A|=0\Rightarrow \begin{cases}k=0\\ k=1\\ k=5\end{cases}$

La matriz $A$ tiene inversa para todo valor de $k$ distinto de 0, de 1 y de 5.

$\textbf{b) Tomando el valor } \boldsymbol{k = -1}\textbf{ en la matriz } \boldsymbol{A}\textbf{, calcule la matriz } \boldsymbol{X}\textbf{ que verifica que } \boldsymbol{A \cdot X = 24 \cdot I_3}\textbf{, siendo } \boldsymbol{I_3}\textbf{ la matriz identidad de orden 3. [1,5 puntos]}$

Como $-1$ no es ninguno de los tres valores anteriores, la matriz es invertible y se puede despejar multiplicando por $A^{-1}$ por la izquierda.

$A=\begin{pmatrix}-1 & 0 & 1\\ 0 & -2 & -2\\ -1 & 1 & -4\end{pmatrix},\qquad |A|=(-1)(-2)(-6)=-12$

$A\cdot X=24\,I_3\Rightarrow X=24\,A^{-1}$

$A^{-1}=\dfrac{1}{|A|}\operatorname{Adj}\left(A^{t}\right)=\dfrac{1}{-12}\begin{pmatrix}10 & 1 & 2\\ 2 & 5 & -2\\ -2 & 1 & 2\end{pmatrix}$

Al multiplicar por 24 el factor numérico se simplifica y no hacen falta fracciones:

$X=24\cdot\dfrac{1}{-12}\begin{pmatrix}10 & 1 & 2\\ 2 & 5 & -2\\ -2 & 1 & 2\end{pmatrix}=-2\begin{pmatrix}10 & 1 & 2\\ 2 & 5 & -2\\ -2 & 1 & 2\end{pmatrix}$

$X=\begin{pmatrix}-20 & -2 & -4\\ -4 & -10 & 4\\ 4 & -2 & -4\end{pmatrix}$

Comprobamos el resultado:

$A\cdot X=\begin{pmatrix}24 & 0 & 0\\ 0 & 24 & 0\\ 0 & 0 & 24\end{pmatrix}=24\,I_3$

La matriz buscada es $X=\begin{pmatrix}-20 & -2 & -4\\ -4 & -10 & 4\\ 4 & -2 & -4\end{pmatrix}$.