Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2021

Se consideran las matrices $A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 4 & 2 \end{pmatrix}$; $B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 4 & -1 \end{pmatrix}$

a) Sea la matriz $M = A + c \cdot B$, donde $c$ es un número real cualquiera. Calcule los valores de $c$ de forma que el rango de $M$ sea 1. [1 punto]

b) Sea la matriz $D = A^2 + B \cdot A$. Averigüe la matriz $X$ que cumple la siguiente ecuación matricial: $D \cdot X = -30 \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \end{pmatrix}$ [1,5 puntos]

$\textbf{a) Sea la matriz } \boldsymbol{M = A + c \cdot B}\textbf{, donde } \boldsymbol{c}\textbf{ es un número real cualquiera. Calcule los valores de } \boldsymbol{c}\textbf{ de forma que el rango de } \boldsymbol{M}\textbf{ sea 1. [1 punto]}$

Una matriz cuadrada de orden 2 tiene rango 2 cuando su determinante no se anula y rango 1 cuando se anula sin ser la matriz nula. Construimos $M$ y estudiamos su determinante.

$M=A+c\,B=\begin{pmatrix}1 & -1\\ 4 & 2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}c & 0\\ 4c & -c\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1+c & -1\\ 4+4c & 2-c\end{pmatrix}$

$|M|=(1+c)(2-c)-(-1)(4+4c)=2-c+2c-c^{2}+4+4c$

$=-c^{2}+5c+6=-(c-6)(c+1)$

$|M|=0\Rightarrow \begin{cases}c=6\\ c=-1\end{cases}$

Falta comprobar que en esos dos casos la matriz no es nula, porque entonces el rango sería 0 y no 1.

$c=-1\Rightarrow M=\begin{pmatrix}0 & -1\\ 0 & 3\end{pmatrix};\qquad c=6\Rightarrow M=\begin{pmatrix}7 & -1\\ 28 & -4\end{pmatrix}$

Ninguna de las dos es la matriz nula, así que el rango de $M$ es 1 exactamente para $c=-1$ y $c=6$.

$\textbf{b) Sea la matriz } \boldsymbol{D = A^2 + B \cdot A}\textbf{. Averigüe la matriz } \boldsymbol{X}\textbf{ que cumple la siguiente ecuación matricial. [1,5 puntos]}$

$A^{2}=\begin{pmatrix}1 & -1\\ 4 & 2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & -1\\ 4 & 2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3 & -3\\ 12 & 0\end{pmatrix}$

$B\cdot A=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 4 & -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & -1\\ 4 & 2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & -1\\ 0 & -6\end{pmatrix}$

$D=A^{2}+B\cdot A=\begin{pmatrix}-2 & -4\\ 12 & -6\end{pmatrix}$

La incógnita está multiplicada por $D$ por la izquierda, así que hay que multiplicar por $D^{-1}$ por ese mismo lado; antes se comprueba que esa inversa existe.

$|D|=(-2)(-6)-(-4)(12)=12+48=60\neq 0$

$D^{-1}=\dfrac{1}{60}\begin{pmatrix}-6 & 4\\ -12 & -2\end{pmatrix}$

$D\cdot X=-30\begin{pmatrix}2 & 1 & 3\\ 0 & 1 & 4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-60 & -30 & -90\\ 0 & -30 & -120\end{pmatrix}$

$X=D^{-1}\begin{pmatrix}-60 & -30 & -90\\ 0 & -30 & -120\end{pmatrix}=\dfrac{1}{60}\begin{pmatrix}360 & 60 & 60\\ 720 & 420 & 1320\end{pmatrix}$

$X=\begin{pmatrix}6 & 1 & 1\\ 12 & 7 & 22\end{pmatrix}$

Comprobamos el resultado en la ecuación de partida:

$D\cdot X=\begin{pmatrix}-2 & -4\\ 12 & -6\end{pmatrix}\begin{pmatrix}6 & 1 & 1\\ 12 & 7 & 22\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-60 & -30 & -90\\ 0 & -30 & -120\end{pmatrix}$

La matriz que cumple la ecuación es $X=\begin{pmatrix}6 & 1 & 1\\ 12 & 7 & 22\end{pmatrix}$.