Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2021

Calcule el valor de la matriz $M = X^2 - Y^2$, siendo $X$ e $Y$ las matrices que son solución del siguiente sistema:

$\begin{cases} 4X + 3Y = \begin{pmatrix} 1 & 8 \\ -3 & -1 \end{pmatrix} \\[12pt] 2X + Y = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \end{cases}$ [2,5 puntos]

Antes de calcular $M$ hay que resolver el sistema, que es de dos ecuaciones con dos incógnitas matriciales. Se resuelve por reducción, igual que un sistema numérico: multiplicamos la segunda ecuación por 3 para que los términos en $Y$ se cancelen al restar.

$6X+3Y=3\begin{pmatrix}3 & 4\\ 1 & -1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}9 & 12\\ 3 & -3\end{pmatrix}$

$(6X+3Y)-(4X+3Y)=\begin{pmatrix}9 & 12\\ 3 & -3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1 & 8\\ -3 & -1\end{pmatrix}$

$2X=\begin{pmatrix}8 & 4\\ 6 & -2\end{pmatrix}\Rightarrow X=\begin{pmatrix}4 & 2\\ 3 & -1\end{pmatrix}$

Con $X$ ya conocida se despeja $Y$ en la segunda ecuación.

$Y=\begin{pmatrix}3 & 4\\ 1 & -1\end{pmatrix}-2\begin{pmatrix}4 & 2\\ 3 & -1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3 & 4\\ 1 & -1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}8 & 4\\ 6 & -2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-5 & 0\\ -5 & 1\end{pmatrix}$

Conviene subrayar que $M=X^{2}-Y^{2}$ no puede factorizarse como $(X+Y)(X-Y)$, porque el producto de matrices no es conmutativo. Hay que calcular cada cuadrado por separado.

$X^{2}=\begin{pmatrix}4 & 2\\ 3 & -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}4 & 2\\ 3 & -1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}22 & 6\\ 9 & 7\end{pmatrix}$

$Y^{2}=\begin{pmatrix}-5 & 0\\ -5 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-5 & 0\\ -5 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}25 & 0\\ 20 & 1\end{pmatrix}$

$M=X^{2}-Y^{2}=\begin{pmatrix}22 & 6\\ 9 & 7\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}25 & 0\\ 20 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3 & 6\\ -11 & 6\end{pmatrix}$

La matriz pedida es $M=\begin{pmatrix}-3 & 6\\ -11 & 6\end{pmatrix}$.