Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2022

Averigüe qué dos matrices de dimensiones $3\times 3$, $X$ e $Y$, verifican las siguientes condiciones:

— La suma de ambas matrices $X$ e $Y$ da como resultado la matriz $I_3$ (siendo $I_3$ la matriz identidad $3\times 3$).

— Siendo $A = \begin{pmatrix} 9 & 0 & -7 \\ 14 & -12 & 0 \\ 0 & -7 & -5 \end{pmatrix}$, la matriz traspuesta de $A$ es el resultado de realizar la resta del doble de la matriz $X$ y cinco veces la matriz $Y$.

[2,5 puntos]

Las dos condiciones del enunciado se traducen en un sistema de dos ecuaciones matriciales. La segunda dice que la traspuesta de $A$ es el resultado de restar el doble de $X$ y cinco veces $Y$.

$\begin{cases}X+Y=I_3\\ 2X-5Y=A^{t}\end{cases}$

Se resuelve por sustitución: de la primera ecuación se despeja $Y$ y se lleva a la segunda, con lo que queda una sola incógnita matricial.

$Y=I_3-X$

$2X-5\left(I_3-X\right)=A^{t}\Rightarrow 2X-5I_3+5X=A^{t}\Rightarrow 7X=A^{t}+5I_3$

$A^{t}=\begin{pmatrix}9 & 14 & 0\\ 0 & -12 & -7\\ -7 & 0 & -5\end{pmatrix}$

$A^{t}+5I_3=\begin{pmatrix}9 & 14 & 0\\ 0 & -12 & -7\\ -7 & 0 & -5\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}5 & 0 & 0\\ 0 & 5 & 0\\ 0 & 0 & 5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}14 & 14 & 0\\ 0 & -7 & -7\\ -7 & 0 & 0\end{pmatrix}$

$X=\dfrac{1}{7}\begin{pmatrix}14 & 14 & 0\\ 0 & -7 & -7\\ -7 & 0 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 & 2 & 0\\ 0 & -1 & -1\\ -1 & 0 & 0\end{pmatrix}$

$Y=I_3-X=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2 & 2 & 0\\ 0 & -1 & -1\\ -1 & 0 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1 & -2 & 0\\ 0 & 2 & 1\\ 1 & 0 & 1\end{pmatrix}$

Comprobamos la segunda condición, que es la que no se ha usado para despejar:

$2X-5Y=\begin{pmatrix}4 & 4 & 0\\ 0 & -2 & -2\\ -2 & 0 & 0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-5 & -10 & 0\\ 0 & 10 & 5\\ 5 & 0 & 5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}9 & 14 & 0\\ 0 & -12 & -7\\ -7 & 0 & -5\end{pmatrix}=A^{t}$

Las matrices buscadas son $X=\begin{pmatrix}2 & 2 & 0\\ 0 & -1 & -1\\ -1 & 0 & 0\end{pmatrix}$ e $Y=\begin{pmatrix}-1 & -2 & 0\\ 0 & 2 & 1\\ 1 & 0 & 1\end{pmatrix}$.