Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2023

Resuelva la ecuación matricial $AX + B^t = A^2$, siendo:

$A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \qquad \text{y} \qquad B = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & 3 \end{pmatrix}$ [2,5 puntos]

Se despeja $X$ en la ecuación matricial antes de operar con números. La matriz $X$ está multiplicada por $A$ por la izquierda, así que hay que multiplicar por $A^{-1}$ por ese mismo lado, y para ello lo primero es comprobar que $A$ es invertible.

$|A|=\begin{vmatrix}0 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{vmatrix}=-1\cdot\begin{vmatrix}1 & 1\\ 0 & 1\end{vmatrix}=-1\neq 0$

desarrollando por la segunda fila, que solo tiene un elemento no nulo. Existe, pues, $A^{-1}$.

$AX+B^{t}=A^{2}\Rightarrow AX=A^{2}-B^{t}$

$A^{-1}AX=A^{-1}\left(A^{2}-B^{t}\right)\Rightarrow X=A^{-1}\left(A^{2}-B^{t}\right)$

Calculamos por separado las tres matrices que intervienen.

$A^{-1}=\dfrac{1}{|A|}\operatorname{Adj}\left(A^{t}\right)=\begin{pmatrix}0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}$

$A^{2}=\begin{pmatrix}0 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}$

$B^{t}=\begin{pmatrix}1 & 1 & -1\\ -1 & -1 & 2\\ 1 & 0 & 3\end{pmatrix}$

$A^{2}-B^{t}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1 & 1 & -1\\ -1 & -1 & 2\\ 1 & 0 & 3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & -1 & 2\\ 1 & 2 & -1\\ -1 & 0 & -2\end{pmatrix}$

$X=\begin{pmatrix}0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 & -1 & 2\\ 1 & 2 & -1\\ -1 & 0 & -2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 2 & -1\\ 1 & -1 & 4\\ -1 & 0 & -2\end{pmatrix}$

Comprobamos el resultado en la ecuación de partida:

$AX=\begin{pmatrix}0 & -1 & 2\\ 1 & 2 & -1\\ -1 & 0 & -2\end{pmatrix}=A^{2}-B^{t}$

La solución de la ecuación matricial es $X=\begin{pmatrix}1 & 2 & -1\\ 1 & -1 & 4\\ -1 & 0 & -2\end{pmatrix}$.