Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2023

Dadas las matrices

$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & -1 \end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix} -1 & 2 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \qquad \text{y} \qquad C = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ -1 & 0 & -1 \end{pmatrix}$

a) Compruebe si la matriz $M = 2I_3 + B^t$ tiene inversa, donde $I_3$ es la matriz identidad de orden 3. [0,75 puntos]

b) Justifique que existe la matriz $X$ que verifica la ecuación siguiente:

$2X + C = A - X \cdot B^t$

Calcule razonadamente dicha matriz $X$. [1,75 puntos]

$\textbf{a) Compruebe si la matriz } \boldsymbol{M = 2I_3 + B^t}\textbf{ tiene inversa, donde } \boldsymbol{I_3}\textbf{ es la matriz identidad de orden 3. [0,75 puntos]}$

Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante no se anula, así que primero se construye $M$ y después se calcula $|M|$.

$B^{t}=\begin{pmatrix}-1 & 0 & 1\\ 2 & -1 & 0\\ 1 & 0 & 0\end{pmatrix}$

$M=2I_3+B^{t}=\begin{pmatrix}2 & 0 & 0\\ 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-1 & 0 & 1\\ 2 & -1 & 0\\ 1 & 0 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 1\\ 2 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 2\end{pmatrix}$

Desarrollamos por la segunda columna, que solo tiene un elemento no nulo.

$|M|=\begin{vmatrix}1 & 0 & 1\\ 2 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 2\end{vmatrix}=1\cdot\begin{vmatrix}1 & 1\\ 1 & 2\end{vmatrix}=2-1=1\neq 0$

El determinante no se anula, luego la matriz $M$ sí tiene inversa.

$\textbf{b) Justifique que existe la matriz } \boldsymbol{X}\textbf{ que verifica la ecuación } \boldsymbol{2X + C = A - X \cdot B^t}\textbf{. Calcule razonadamente dicha matriz } \boldsymbol{X}\textbf{. [1,75 puntos]}$

Agrupamos en el primer miembro los dos términos que llevan $X$. En los dos aparece por la izquierda, así que se puede sacar factor común por ese lado, y lo que queda dentro del paréntesis es exactamente la matriz $M$ del apartado anterior.

$2X+C=A-X\cdot B^{t}\Rightarrow 2X+X\cdot B^{t}=A-C$

$X\left(2I_3+B^{t}\right)=A-C\Rightarrow X\cdot M=A-C$

Como en el apartado anterior se ha comprobado que $M$ es invertible, se puede multiplicar por $M^{-1}$ por la derecha —el lado por el que $M$ multiplica a $X$—, y de ahí que la matriz $X$ exista y sea única.

$X\cdot M\cdot M^{-1}=(A-C)\,M^{-1}\Rightarrow X=(A-C)\,M^{-1}$

$A-C=\begin{pmatrix}2 & 1 & 0\\ -1 & 0 & 0\\ 1 & 2 & -1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0 & 1 & 0\\ 0 & 3 & 0\\ -1 & 0 & -1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 & 0 & 0\\ -1 & -3 & 0\\ 2 & 2 & 0\end{pmatrix}$

$M^{-1}=\dfrac{1}{|M|}\operatorname{Adj}\left(M^{t}\right)=\begin{pmatrix}2 & 0 & -1\\ -4 & 1 & 2\\ -1 & 0 & 1\end{pmatrix}$

$X=\begin{pmatrix}2 & 0 & 0\\ -1 & -3 & 0\\ 2 & 2 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2 & 0 & -1\\ -4 & 1 & 2\\ -1 & 0 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4 & 0 & -2\\ 10 & -3 & -5\\ -4 & 2 & 2\end{pmatrix}$

La matriz que verifica la ecuación es $X=\begin{pmatrix}4 & 0 & -2\\ 10 & -3 & -5\\ -4 & 2 & 2\end{pmatrix}$.