Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2024

Dada la siguiente matriz: $M_k = \begin{pmatrix} k & 0 & k \\ 0 & k & 0 \\ 2k-3 & 0 & k \end{pmatrix}$, con $k \in \mathbb{R}$.

a) Estudie el rango de la matriz $M_k$, dependiendo de los valores del parámetro $k$. [1,25 puntos]

b) Tomamos $M_1$ como la matriz anterior para el valor $k = 1$, y $B = \begin{pmatrix} -4 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}$. Halle la matriz $X$ que satisface la ecuación $X \cdot M_1 + X \cdot M_1^{\,T} = B$. [1,25 puntos]

$\textbf{a) Estudie el rango de la matriz } \boldsymbol{M_k}\textbf{, dependiendo de los valores del parámetro } \boldsymbol{k}\textbf{. [1,25 puntos]}$

El rango de una matriz cuadrada de orden 3 vale 3 exactamente cuando su determinante no se anula, así que empezamos por calcularlo. Como la segunda fila solo tiene un elemento no nulo, conviene desarrollar por ella.

$|M_k|=\begin{vmatrix}k & 0 & k\\ 0 & k & 0\\ 2k-3 & 0 & k\end{vmatrix}=k\cdot\begin{vmatrix}k & k\\ 2k-3 & k\end{vmatrix}=k\left(k^{2}-k(2k-3)\right)$

$=k\left(k^{2}-2k^{2}+3k\right)=k\left(-k^{2}+3k\right)=k^{2}(3-k)$

$|M_k|=0\Rightarrow \begin{cases}k=0\\ k=3\end{cases}$

Si $k\neq 0$ y $k\neq 3$, entonces $|M_k|\neq 0$ y $\operatorname{ran}(M_k)=3$.

Si $k=0$, la matriz se reduce a un único elemento no nulo, el que ocupa el lugar de $2k-3$:

$M_0=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ -3 & 0 & 0\end{pmatrix}\Rightarrow \operatorname{ran}(M_0)=1$

Si $k=3$, la primera y la tercera fila coinciden, así que solo hay dos filas linealmente independientes:

$M_3=\begin{pmatrix}3 & 0 & 3\\ 0 & 3 & 0\\ 3 & 0 & 3\end{pmatrix},\qquad \begin{vmatrix}3 & 0\\ 0 & 3\end{vmatrix}=9\neq 0\Rightarrow \operatorname{ran}(M_3)=2$

Finalmente, el rango de $M_k$ vale 1 para $k=0$, vale 2 para $k=3$ y vale 3 para cualquier otro valor del parámetro.

$\textbf{b) Tomamos } \boldsymbol{M_1}\textbf{ como la matriz anterior para el valor } \boldsymbol{k = 1}\textbf{, y } \boldsymbol{B}\textbf{. Halle la matriz } \boldsymbol{X}\textbf{ que satisface la ecuación } \boldsymbol{X \cdot M_1 + X \cdot M_1^{\,T} = B}\textbf{. [1,25 puntos]}$

En el primer miembro la matriz $X$ aparece por la izquierda en los dos sumandos, así que se puede sacar factor común por ese lado antes de operar. Esto es lo que ahorra todo el trabajo, porque la suma que queda dentro del paréntesis resulta ser muy sencilla.

$X\cdot M_1+X\cdot M_1^{\,T}=X\left(M_1+M_1^{\,T}\right)$

$M_1=\begin{pmatrix}1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0\\ -1 & 0 & 1\end{pmatrix},\qquad M_1^{\,T}=\begin{pmatrix}1 & 0 & -1\\ 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 1\end{pmatrix}$

$M_1+M_1^{\,T}=\begin{pmatrix}2 & 0 & 0\\ 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 2\end{pmatrix}=2I$

La ecuación se convierte entonces en una simple multiplicación por un número:

$X\cdot 2I=B\Rightarrow 2X=B\Rightarrow X=\dfrac{1}{2}B$

$X=\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix}-4 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 2\end{pmatrix}$

La matriz que satisface la ecuación es $X=\begin{pmatrix}-2 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 2\end{pmatrix}$, de orden $2\times 3$, que es el que exige el producto por una matriz cuadrada de orden 3.