Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2024

Resuelva el siguiente sistema matricial:

$\left.\begin{array}{r} 5X - 4Y = \begin{pmatrix} 5 & 6 & -1 \\ 4 & -5 & 1 \end{pmatrix} \\[12pt] 4X - 6Y = \begin{pmatrix} 4 & 2 & 2 \\ 6 & -4 & -2 \end{pmatrix} \end{array}\right\}$ [2,5 puntos]

Se trata de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, solo que las incógnitas son matrices de orden $2\times 3$. Se resuelve por reducción igual que un sistema numérico, cuidando de no dividir por matrices: multiplicamos la primera ecuación por 3 y la segunda por 2 para que los términos en $Y$ sean iguales y se cancelen al restar.

$15X-12Y=3\begin{pmatrix}5 & 6 & -1\\ 4 & -5 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}15 & 18 & -3\\ 12 & -15 & 3\end{pmatrix}$

$8X-12Y=2\begin{pmatrix}4 & 2 & 2\\ 6 & -4 & -2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}8 & 4 & 4\\ 12 & -8 & -4\end{pmatrix}$

Restando la segunda de la primera:

$7X=\begin{pmatrix}15 & 18 & -3\\ 12 & -15 & 3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}8 & 4 & 4\\ 12 & -8 & -4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}7 & 14 & -7\\ 0 & -7 & 7\end{pmatrix}$

$X=\begin{pmatrix}1 & 2 & -1\\ 0 & -1 & 1\end{pmatrix}$

Con $X$ ya conocida se despeja $Y$ en la primera ecuación del enunciado.

$4Y=5X-\begin{pmatrix}5 & 6 & -1\\ 4 & -5 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5 & 10 & -5\\ 0 & -5 & 5\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}5 & 6 & -1\\ 4 & -5 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & 4 & -4\\ -4 & 0 & 4\end{pmatrix}$

$Y=\begin{pmatrix}0 & 1 & -1\\ -1 & 0 & 1\end{pmatrix}$

Comprobamos el resultado en la segunda ecuación, que no se ha usado para despejar:

$4X-6Y=\begin{pmatrix}4 & 8 & -4\\ 0 & -4 & 4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0 & 6 & -6\\ -6 & 0 & 6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4 & 2 & 2\\ 6 & -4 & -2\end{pmatrix}$

La solución del sistema son las matrices $X=\begin{pmatrix}1 & 2 & -1\\ 0 & -1 & 1\end{pmatrix}$ e $Y=\begin{pmatrix}0 & 1 & -1\\ -1 & 0 & 1\end{pmatrix}$.