Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2025

Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones matriciales:

$\left.\begin{array}{r} 4X - 5Y = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} -9 & -4 & -6 \\ 17 & 3 & 13 \end{pmatrix} \\[12pt] 6X + 4Y = \begin{pmatrix} 10 & 4 & -10 \\ 12 & 10 & 22 \end{pmatrix} \end{array}\right\}$ [2,5 puntos]

Antes de operar conviene simplificar el segundo miembro de la primera ecuación, que es un producto de matrices con una inversa por medio.

$\begin{pmatrix}1 & -1\\ -1 & 2\end{pmatrix}^{-1}$: su determinante vale $2-1=1$, luego la matriz es invertible.

$\begin{pmatrix}1 & -1\\ -1 & 2\end{pmatrix}^{-1}=\dfrac{1}{1}\begin{pmatrix}2 & 1\\ 1 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 & 1\\ 1 & 1\end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}2 & 1\\ 1 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-9 & -4 & -6\\ 17 & 3 & 13\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1 & -5 & 1\\ 8 & -1 & 7\end{pmatrix}$

El sistema que hay que resolver es, por tanto:

$\begin{cases}4X-5Y=\begin{pmatrix}-1 & -5 & 1\\ 8 & -1 & 7\end{pmatrix}\\ 6X+4Y=\begin{pmatrix}10 & 4 & -10\\ 12 & 10 & 22\end{pmatrix}\end{cases}$

Se resuelve por reducción, igual que un sistema numérico: multiplicamos la primera ecuación por 4 y la segunda por 5 para que los términos en $Y$ se cancelen al sumar.

$16X-20Y=\begin{pmatrix}-4 & -20 & 4\\ 32 & -4 & 28\end{pmatrix}$

$30X+20Y=\begin{pmatrix}50 & 20 & -50\\ 60 & 50 & 110\end{pmatrix}$

$46X=\begin{pmatrix}46 & 0 & -46\\ 92 & 46 & 138\end{pmatrix}\Rightarrow X=\begin{pmatrix}1 & 0 & -1\\ 2 & 1 & 3\end{pmatrix}$

Con $X$ ya conocida, se despeja $Y$ en la segunda ecuación.

$4Y=\begin{pmatrix}10 & 4 & -10\\ 12 & 10 & 22\end{pmatrix}-6\begin{pmatrix}1 & 0 & -1\\ 2 & 1 & 3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4 & 4 & -4\\ 0 & 4 & 4\end{pmatrix}$

$Y=\begin{pmatrix}1 & 1 & -1\\ 0 & 1 & 1\end{pmatrix}$

Comprobamos el resultado en la primera ecuación:

$4X-5Y=\begin{pmatrix}4 & 0 & -4\\ 8 & 4 & 12\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}5 & 5 & -5\\ 0 & 5 & 5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1 & -5 & 1\\ 8 & -1 & 7\end{pmatrix}$

La solución del sistema son las matrices $X=\begin{pmatrix}1 & 0 & -1\\ 2 & 1 & 3\end{pmatrix}$ e $Y=\begin{pmatrix}1 & 1 & -1\\ 0 & 1 & 1\end{pmatrix}$.