Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2025

Dada la matriz $A = \begin{pmatrix} 5 & -4 & 2 \\ 2 & k & 1 \\ -4 & 4 & k \end{pmatrix}$, con $k \in \mathbb{R}$.

a) Estudie el rango de $A$ según los valores del parámetro $k$. [1,25 puntos]

b) Para $k = -1$, compruebe que $A^2 = 2A - I$, donde $I$ denota la matriz identidad de orden 3. Además, utilizando la igualdad anterior, verifique, sin calcular la potencia, que $A^4 = 4A - 3I$. [1,25 puntos]

$\textbf{a) Estudie el rango de } \boldsymbol{A}\textbf{ según los valores del parámetro } \boldsymbol{k}\textbf{. [1,25 puntos]}$

El rango de una matriz cuadrada de orden 3 vale 3 exactamente cuando su determinante no se anula, así que empezamos calculando $|A|$ en función de $k$ por la regla de Sarrus.

$|A|=\begin{vmatrix}5 & -4 & 2\\ 2 & k & 1\\ -4 & 4 & k\end{vmatrix}=5k^2+16+16-\left(-8k+20-8k\right)=5k^2+16k+12$

$5k^2+16k+12=0\Rightarrow k=\dfrac{-16\pm\sqrt{256-240}}{10}=\dfrac{-16\pm 4}{10}\Rightarrow\begin{cases}k=-\dfrac{6}{5}\\ k=-2\end{cases}$

Si $k\neq -2$ y $k\neq -\dfrac{6}{5}$, entonces $|A|\neq 0$ y $\operatorname{ran}(A)=3$.

Si $k=-2$, el determinante se anula y hay que buscar un menor de orden 2 no nulo.

$A=\begin{pmatrix}5 & -4 & 2\\ 2 & -2 & 1\\ -4 & 4 & -2\end{pmatrix},\qquad \begin{vmatrix}5 & -4\\ 2 & -2\end{vmatrix}=-10+8=-2\neq 0\Rightarrow \operatorname{ran}(A)=2$

Si $k=-\dfrac{6}{5}$, se procede igual.

$A=\begin{pmatrix}5 & -4 & 2\\ 2 & -\dfrac{6}{5} & 1\\ -4 & 4 & -\dfrac{6}{5}\end{pmatrix},\qquad \begin{vmatrix}5 & -4\\ 2 & -\dfrac{6}{5}\end{vmatrix}=-6+8=2\neq 0\Rightarrow \operatorname{ran}(A)=2$

Finalmente, el rango de $A$ es 2 para $k=-2$ y para $k=-\dfrac{6}{5}$, y es 3 para cualquier otro valor del parámetro.

$\textbf{b) Para } \boldsymbol{k = -1}\textbf{, compruebe que } \boldsymbol{A^2 = 2A - I}\textbf{, donde } \boldsymbol{I}\textbf{ denota la matriz identidad de orden 3. Además, utilizando la igualdad anterior, verifique, sin calcular la potencia, que } \boldsymbol{A^4 = 4A - 3I}\textbf{. [1,25 puntos]}$

Para la primera igualdad basta calcular por separado los dos miembros y comparar.

$A=\begin{pmatrix}5 & -4 & 2\\ 2 & -1 & 1\\ -4 & 4 & -1\end{pmatrix}$

$A^2=A\cdot A=\begin{pmatrix}5 & -4 & 2\\ 2 & -1 & 1\\ -4 & 4 & -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}5 & -4 & 2\\ 2 & -1 & 1\\ -4 & 4 & -1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}9 & -8 & 4\\ 4 & -3 & 2\\ -8 & 8 & -3\end{pmatrix}$

$2A-I=\begin{pmatrix}10 & -8 & 4\\ 4 & -2 & 2\\ -8 & 8 & -2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}9 & -8 & 4\\ 4 & -3 & 2\\ -8 & 8 & -3\end{pmatrix}$

Las dos matrices coinciden término a término, luego $A^2=2A-I$.

Para la segunda igualdad no hace falta multiplicar ninguna matriz: se escribe $A^4$ como el cuadrado de $A^2$ y se sustituye cada $A^2$ por $2A-I$. Al desarrollar el cuadrado se usa que la identidad conmuta con cualquier matriz, $AI=IA=A$.

$A^4=\left(A^2\right)^2=(2A-I)^2=4A^2-4A+I$

$=4(2A-I)-4A+I=8A-4I-4A+I=4A-3I$

Queda comprobado que $A^4=4A-3I$ sin necesidad de calcular la cuarta potencia.