Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2025

Dada la matriz $M \in M_{2\times 2}$, $M = \begin{pmatrix} 1 & a-3 \\ -1 & 2-a \end{pmatrix}$, con $a \in \mathbb{R}$.

a) Para cualquier valor del parámetro $a$, compruebe que $M$ es invertible y dé la expresión de $M^{-1}$. [1 punto]

b) Para $a = -1$, calcule el valor de la matriz $X$ que satisface la ecuación $MA = B - MX$, siendo:

$A = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 3 \\ 1 & 2 & -2 \end{pmatrix} \quad \text{y} \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 \\ -1 & 2 & 1 \end{pmatrix}$ [1,5 puntos]

$\textbf{a) Para cualquier valor del parámetro } \boldsymbol{a}\textbf{, compruebe que } \boldsymbol{M}\textbf{ es invertible y dé la expresión de } \boldsymbol{M^{-1}}\textbf{. [1 punto]}$

Una matriz cuadrada es invertible si y solo si su determinante es distinto de cero, así que calculamos $|M|$ dejando $a$ como parámetro.

$|M|=\begin{vmatrix}1 & a-3\\ -1 & 2-a\end{vmatrix}=1\cdot(2-a)-(a-3)\cdot(-1)=2-a+a-3=-1$

El parámetro desaparece: el determinante vale $-1$ sea cual sea $a$, luego no se anula nunca y $M$ es invertible para todo $a\in\mathbb{R}$.

Para la inversa usamos la expresión con la matriz adjunta de la traspuesta.

$M^{-1}=\dfrac{1}{|M|}\operatorname{Adj}\left(M^{t}\right)$

$M^{t}=\begin{pmatrix}1 & -1\\ a-3 & 2-a\end{pmatrix}$

$\operatorname{Adj}\left(M^{t}\right)=\begin{pmatrix}2-a & 3-a\\ 1 & 1\end{pmatrix}$

$M^{-1}=\dfrac{1}{-1}\begin{pmatrix}2-a & 3-a\\ 1 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a-2 & a-3\\ -1 & -1\end{pmatrix}$

Se comprueba el resultado multiplicando:

$M\cdot M^{-1}=\begin{pmatrix}1 & a-3\\ -1 & 2-a\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a-2 & a-3\\ -1 & -1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}$

La matriz $M$ es invertible para cualquier valor de $a$ y su inversa es la matriz anterior.

$\textbf{b) Para } \boldsymbol{a = -1}\textbf{, calcule el valor de la matriz } \boldsymbol{X}\textbf{ que satisface la ecuación } \boldsymbol{MA = B - MX}\textbf{, siendo: [1,5 puntos]}$

Conviene despejar $X$ en la ecuación matricial antes de sustituir ningún número. Como $M$ es invertible, se puede multiplicar por $M^{-1}$ por la izquierda, respetando el orden de los factores.

$MA=B-MX\Rightarrow MX=B-MA$

$M^{-1}MX=M^{-1}(B-MA)\Rightarrow X=M^{-1}(B-MA)$

Particularizamos ahora para $a=-1$ la matriz y su inversa, obtenida en el apartado anterior.

$M=\begin{pmatrix}1 & -4\\ -1 & 3\end{pmatrix},\qquad M^{-1}=\begin{pmatrix}-3 & -4\\ -1 & -1\end{pmatrix}$

$MA=\begin{pmatrix}1 & -4\\ -1 & 3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 & -1 & 3\\ 1 & 2 & -2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4 & -9 & 11\\ 3 & 7 & -9\end{pmatrix}$

$B-MA=\begin{pmatrix}1 & 0 & 3\\ -1 & 2 & 1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-4 & -9 & 11\\ 3 & 7 & -9\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5 & 9 & -8\\ -4 & -5 & 10\end{pmatrix}$

$X=\begin{pmatrix}-3 & -4\\ -1 & -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}5 & 9 & -8\\ -4 & -5 & 10\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & -7 & -16\\ -1 & -4 & -2\end{pmatrix}$

La matriz buscada es $X=\begin{pmatrix}1 & -7 & -16\\ -1 & -4 & -2\end{pmatrix}$, de orden $2\times 3$, como exigía la ecuación.