Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2021

Una luna de $\mathrm{2,2}\cdot {10}^{21}\text{ kg}$ orbita un planeta de $\mathrm{8,3}\cdot {10}^{24}\text{ kg}$. Cuando se encuentra más lejos del planeta, está a 200 000 km y se mueve a 1,45 km/s.

a) Calcule la velocidad de la luna cuando pasa por el punto más próximo al planeta. [1,5 puntos]

b) Calcule la energía potencial gravitatoria de la luna cuando pasa por el punto de la órbita más lejano del planeta y cuando pasa por el punto más cercano al planeta. [0,5 puntos]

Datos: $G=\mathrm{6,674}\cdot {10}^{-11}{\text{N m}}^2{\text{ kg}}^{-2}$; $E_p=-G{\displaystyle \frac{Mm}{r}}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{luna}}\mathbf{\text{cuando}}\mathbf{\text{pasa}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{pr}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{ximo}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{planeta.}}\mathbf{\text{[1,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

El enunciado no da la distancia del punto más próximo, así que hacen falta las dos leyes de conservación que rigen el movimiento orbital.

En el apoastro y en el periastro la velocidad es perpendicular al radio, de modo que el momento angular vale simplemente $L=mvr$. Como la fuerza gravitatoria es central, se conserva:

$v_a{r}_a=v_p{r}_p$

Y como además es conservativa, se conserva la energía mecánica:

${\displaystyle \frac{1}{2}}{v}_a^2-{\displaystyle \frac{GM}{r_a}}={\displaystyle \frac{1}{2}}{v}_p^2-{\displaystyle \frac{GM}{r_p}}$

Se llama $u=v_p\mathrm{/}{v}_a=r_a\mathrm{/}{r}_p$ y se sustituye en la segunda ecuación:

${\displaystyle \frac{1}{2}}{v}_a^2(u^2-1)={\displaystyle \frac{GM}{r_a}}(u-1)$

El factor $u-1$ se simplifica —la solución $u=1$ corresponde a la órbita circular, que no es este caso— y queda:

$u+1={\displaystyle \frac{2GM}{r_a{v}_a^2}}\Rightarrow u={\displaystyle \frac{2GM}{r_a{v}_a^2}}-1$

Se sustituyen los datos, con $r_a=2\cdot {10}^8\text{ m}$ y $v_a=1450\text{ m/s}$:

$u={\displaystyle \frac{2\cdot \mathrm{6,674}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{8,3}\cdot {10}^{24}}{2\cdot {10}^8\cdot {1450}^2}}-1=\mathrm{2,635}-1=\mathrm{1,635}$

$v_p=u{v}_a=\mathrm{1,635}\cdot 1450=\mathrm{2,37}\cdot {10}^3\text{ m/s}$

En el punto más próximo la luna se mueve a $\mathrm{2,37}\text{ km/s}$, y de paso queda determinada esa distancia:

$r_p={\displaystyle \frac{r_a}{u}}={\displaystyle \frac{2\cdot {10}^8}{\mathrm{1,635}}}=\mathrm{1,22}\cdot {10}^8\text{ m}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{energ}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{potencial}}\mathbf{\text{gravitatoria}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{luna}}\mathbf{\text{cuando}}\mathbf{\text{pasa}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{rbita}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{lejano}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{planeta}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{cuando}}\mathbf{\text{pasa}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{cercano}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{planeta.}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Se aplica la expresión del enunciado en cada posición.

En el apoastro:

$E_p(r_a)=-{\displaystyle \frac{\mathrm{6,674}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{8,3}\cdot {10}^{24}\cdot \mathrm{2,2}\cdot {10}^{21}}{2\cdot {10}^8}}$

$E_p(r_a)=-\mathrm{6,09}\cdot {10}^{27}\text{ J}$

Y en el periastro, con la distancia obtenida en el apartado anterior:

$E_p(r_p)=-{\displaystyle \frac{\mathrm{1,219}\cdot {10}^{36}}{\mathrm{1,22}\cdot {10}^8}}=-\mathrm{9,96}\cdot {10}^{27}\text{ J}$

La energía potencial es más negativa cerca del planeta, como debe ser. Puede comprobarse que la energía mecánica es la misma en los dos puntos:

$E={\displaystyle \frac{1}{2}}m{v}_a^2+E_p(r_a)=\mathrm{2,31}\cdot {10}^{27}-\mathrm{6,09}\cdot {10}^{27}=-\mathrm{3,78}\cdot {10}^{27}\text{ J}$

$E={\displaystyle \frac{1}{2}}m{v}_p^2+E_p(r_p)=\mathrm{6,18}\cdot {10}^{27}-\mathrm{9,96}\cdot {10}^{27}=-\mathrm{3,78}\cdot {10}^{27}\text{ J}$