Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2020

a) Un satélite de 2000 kg se mueve a 8,75 km/s en una órbita circular de 500 km de altura alrededor de un planeta de 4300 km de radio. Calcule el módulo del momento angular del satélite respecto del centro del planeta. [0,5 puntos]

b) Un satélite diferente tiene una órbita elíptica alrededor de otro planeta. La altura de la órbita oscila entre 420 km y 560 km. La velocidad orbital cambia entre 10,6 km/s y 10,8 km/s. ¿Qué velocidad tiene el satélite cuando se encuentra a 420 km de altura? Justifique la respuesta brevemente. [0,75 puntos]

c) Calcule el radio del planeta del apartado b. [0,75 puntos]

Datos: $G=\mathrm{6,674}\cdot {10}^{-11}{\text{N m}}^2{\text{ kg}}^{-2}$; $L=mvr$ para una órbita circular.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Un}}\mathbf{\text{sat}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{lite}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{2000}}\mathbf{\text{kg}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{mueve}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{8,75}}\mathbf{\text{km/s}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{una}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{rbita}}\mathbf{\text{circular}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{500}}\mathbf{\text{km}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{altura}}\mathbf{\text{alrededor}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{planeta}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{4300}}\mathbf{\text{km}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{radio.}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{dulo}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{momento}}\mathbf{\text{angular}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{sat}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{lite}}\mathbf{\text{respecto}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{centro}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{planeta.}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

En una órbita circular la velocidad es siempre perpendicular al radio, de modo que el módulo del momento angular es el que da el enunciado:

$L=mvr$

El radio de la órbita se mide desde el centro del planeta, así que es el radio del planeta más la altura:

$r=4300+500=4800\text{ km}=\mathrm{4,8}\cdot {10}^6\text{ m}$

Se sustituyen los datos en unidades del Sistema Internacional:

$L=2000\cdot \mathrm{8,75}\cdot {10}^3\cdot \mathrm{4,8}\cdot {10}^6$

$L=\mathrm{8,4}\cdot {10}^{13}{\text{kg m}}^2\mathrm{/}\text{s}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Un}}\mathbf{\text{sat}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{lite}}\mathbf{\text{diferente}}\mathbf{\text{tiene}}\mathbf{\text{una}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{rbita}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{ptica}}\mathbf{\text{alrededor}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{otro}}\mathbf{\text{planeta.}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{altura}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{rbita}}\mathbf{\text{oscila}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{420}}\mathbf{\text{km}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{560}}\mathbf{\text{km.}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{orbital}}\mathbf{\text{cambia}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{10,6}}\mathbf{\text{km/s}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{10,8}}\mathbf{\text{km/s.}}\mathbf{\text{¿Qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{tiene}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sat}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{lite}}\mathbf{\text{cuando}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{encuentra}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{420}}\mathbf{\text{km}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{altura?}}\mathbf{\text{Justifique}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{respuesta}}\mathbf{\text{brevemente.}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

A 420 km de altura el satélite está en el punto más próximo al planeta, y allí lleva la velocidad mayor: $\mathrm{10,8}\text{ km/s}$.

La justificación es la segunda ley de Kepler, o lo que es lo mismo, la conservación del momento angular. La fuerza gravitatoria es central, así que su momento respecto del planeta es nulo y $L$ se conserva. En el periastro y en el apoastro la velocidad es perpendicular al radio, de modo que:

$m{v}_p{r}_p=m{v}_a{r}_a$

Cuanto menor es el radio, mayor ha de ser la velocidad.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{radio}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{planeta}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{apartado}}\mathbf{\text{b.}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Se aplica la igualdad anterior, escribiendo cada radio como el del planeta más la altura correspondiente:

$v_p(R+420)=v_a(R+560)$

$\mathrm{10,8}(R+420)=\mathrm{10,6}(R+560)$

Se opera, en kilómetros:

$\mathrm{10,8}R+4536=\mathrm{10,6}R+5936$

$\mathrm{0,2}R=1400$

$R=7000\text{ km}$

El radio del planeta es de $7000\text{ km}$. Obsérvese que no ha hecho falta la constante $G$ ni la masa del planeta: basta la conservación del momento angular.