Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2020

Una sonda espacial sin propulsión se aleja radialmente de un planeta de $\mathrm{5,18}\cdot {10}^{26}\text{ kg}$. Cuando se encuentra a 23 400 km del centro del planeta, la sonda se mueve a 25,5 km/s. Calcule la distancia máxima al planeta que alcanzará la sonda. [2 puntos]

Datos: $G=\mathrm{6,674}\cdot {10}^{-11}{\text{N m}}^2{\text{ kg}}^{-2}$; $E_p=-G{\displaystyle \frac{Mm}{r}}$.

$\mathbf{\text{Una}}\mathbf{\text{sonda}}\mathbf{\text{espacial}}\mathbf{\text{sin}}\mathbf{\text{propulsi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{aleja}}\mathbf{\text{radialmente}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{planeta}}\mathbf{\text{de}}\mathrm{<mrow><mn\; mathvariant="bold">5,18</mn><mo\; mathvariant="bold-italic">\cdot </mo><msup><mn\; mathvariant="bold">10</mn><mn\; mathvariant="bold">26</mn></msup><mtext> kg</mtext></mrow>}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{Cuando}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{encuentra}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{23}}\mathbf{\text{400}}\mathbf{\text{km}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{centro}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{planeta,}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{sonda}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{mueve}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{25,5}}\mathbf{\text{km/s.}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{distancia}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{xima}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{planeta}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{alcanzar}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{sonda.}}\mathbf{\text{[2}}\mathbf{\text{puntos]}}$

La sonda no tiene propulsión, así que la única fuerza que actúa sobre ella es la gravitatoria del planeta, que es conservativa: la energía mecánica se conserva durante todo el trayecto.

${\displaystyle \frac{1}{2}}m{v}_0^2-G{\displaystyle \frac{Mm}{r_0}}={\displaystyle \frac{1}{2}}m{v}^2-G{\displaystyle \frac{Mm}{r}}$

La masa de la sonda se simplifica en todos los términos, de modo que el resultado no depende de ella.

Se calcula primero la energía mecánica por unidad de masa en la posición inicial, con $r_0=\mathrm{2,34}\cdot {10}^7\text{ m}$ y $v_0=\mathrm{2,55}\cdot {10}^4\text{ m/s}$:

${\displaystyle \frac{E}{m}}={\displaystyle \frac{1}{2}}{v}_0^2-{\displaystyle \frac{GM}{r_0}}={\displaystyle \frac{(\mathrm{2,55}\cdot {10}^4{)}^2}{2}}-{\displaystyle \frac{\mathrm{6,674}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{5,18}\cdot {10}^{26}}{\mathrm{2,34}\cdot {10}^7}}$

${\displaystyle \frac{E}{m}}=\mathrm{3,251}\cdot {10}^8-\mathrm{1,477}\cdot {10}^9=-\mathrm{1,152}\cdot {10}^9\text{ J/kg}$

La energía es negativa, así que la sonda está ligada al planeta: no escapará y llegará a una distancia máxima, donde su velocidad será nula.

Se impone $v=0$ en la posición más lejana:

$-{\displaystyle \frac{GM}{r_{\max }}}={\displaystyle \frac{E}{m}}\Rightarrow r_{\max }=-{\displaystyle \frac{GM}{E\mathrm{/}m}}$

$r_{\max }={\displaystyle \frac{\mathrm{3,457}\cdot {10}^{16}}{\mathrm{1,152}\cdot {10}^9}}$

$r_{\max }=\mathrm{3,00}\cdot {10}^7\text{ m}=30000\text{ km}$

La sonda llegará como máximo a $\mathrm{3,00}\cdot {10}^4\text{ km}$ del centro del planeta, y desde allí volverá a caer.